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    Professore di matematica e studenti fanno una passeggiata insieme

    Credito:California Institute of Technology

    Ad alcune persone piace fare passeggiate casuali nei boschi, mentre altri potrebbero passeggiare nel proprio quartiere. Nel mondo della matematica, una passeggiata aleatoria è infatti più casuale di questa; sarebbe l'equivalente di lanciare una moneta per decidere quale direzione prenderesti ad ogni passo.

    Recentemente, Omer Tamuz del Caltech, professore di economia e matematica, insieme a due dei suoi studenti laureati, Joshua Frisch e Pooya Vahidi Ferdowsi, e il loro collega Yair Hartman della Ben-Gurion University in Israele, risolto un problema di matematica di vecchia data relativo alle passeggiate casuali. La soluzione è stata pubblicata la scorsa estate sulla rivista Annali di matematica .

    "Ricordo di aver parlato con gli studenti di una realizzazione che abbiamo avuto riguardo a questo problema, e poi la mattina dopo ho scoperto che erano rimasti svegli fino a tarda notte e l'hanno capito, "dice Tamuz.

    "Siamo stati molto fortunati in quanto questo progetto ci ha effettivamente procurato la soluzione che volevamo. È molto raro in un progetto di matematica, " dice Frisch. "Qualcosa come il 90 percento dei progetti su cui lavori, non sarai in grado di risolvere. Con circa il 10 per cento, inizi a fare progressi e lavori molto più duramente. E anche allora, non sempre li risolvi. Parte dell'essere un matematico è abituarsi al fallimento. A volte lavori su qualcosa per mesi e devi arrenderti e passare al progetto successivo".

    I matematici immaginano passeggiate casuali in spazi con dimensioni e geometrie diverse. Nel nuovo studio, il team del Caltech ha immaginato passeggiate casuali su "gruppi, " che sono oggetti che possono avere geometrie molto diverse. Per alcuni gruppi, le passeggiate casuali alla fine, dopo tanto tempo è trascorso, convergere in una direzione specifica. In quei casi, si dice che le passeggiate siano dipendenti dal percorso, il che significa che qualcosa che è successo all'inizio influisce sul risultato. O, in altre parole, qualcosa che accade all'inizio della passeggiata influenza il punto in cui finisce. Ma per altri gruppi, la direzione delle passeggiate non converge, e la loro storia non influisce sul loro futuro.

    "Per un processo casuale, è vero che a lungo andare tutto svanisce e qualunque cosa accada accadrà indipendentemente da ciò che è accaduto prima? O c'è un ricordo di ciò che è accaduto prima?" chiede Tamuz. "Supponiamo che tu abbia due società, e uno di loro fa qualche progresso tecnologico mentre l'altro subisce un disastro naturale. Queste differenze dureranno per sempre, o alla fine scompariranno e dimenticheremo che una volta c'era un vantaggio? Nelle passeggiate casuali, è noto da tempo che ci sono gruppi che hanno questi ricordi mentre in altri gruppi i ricordi vengono cancellati. Ma non era molto chiaro quali gruppi avessero questa proprietà e quali no, cioè, cosa fa sì che un gruppo abbia memoria? Questo è quello che abbiamo capito".

    La soluzione, dice Tamuz, aveva a che fare con la ricerca di un "modo geometrico di descrivere una proprietà algebrica dei gruppi". Per capire il senso di questo, pensa a un cerchio Puoi descrivere il cerchio geometricamente (come l'insieme di tutti i punti a una data distanza da un punto), oppure puoi descriverlo con un'equazione algebrica. Nel caso del problema del random walk, i matematici trovarono un nuovo modo di pensare le connessioni tra le proprietà geometriche e algebriche dei gruppi che stavano studiando.

    "Siamo rimasti davvero scioccati da quanto sia stato facile risolvere il problema una volta individuata questa connessione, "dice Ferdowsi, chi spiega che anche se la soluzione "è appena uscita, " la squadra ha dovuto affrontare un "considerevole" ritardo mentre si trovava nel suo paese d'origine, l'Iran, e non era in grado di ottenere un visto per tornare al Caltech. "Alla fine, siamo stati lieti di aver risolto un problema aperto di vecchia data in matematica."

    Frisch dice che la grande realizzazione che hanno avuto per questo problema di matematica in realtà è nata da un problema precedente che era molto più difficile. "Ci stavo sbattendo la testa da qualche mese e non riuscivo a fare alcun progresso, " lui dice, "Ma poi abbiamo avuto questa idea eureka che si applicava non solo a ciò su cui stavamo lavorando allora, ma anche a questo problema più recente. È davvero bello quando ti rendi conto, "Dio mio, questo funzionerà davvero.'"

    Il Annali di studio della matematica , intitolato, "Gruppi di Choquet-Deny e la proprietà della classe di coniugazione infinita, " è stato sostenuto dalla National Science Foundation e dalla Simons Foundation.


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