In una sequenza geometrica, ogni termine è uguale al termine precedente moltiplicato per un moltiplicatore costante, diverso da zero, chiamato fattore comune. Le sequenze geometriche possono avere un numero fisso di termini, oppure possono essere infinite. In entrambi i casi, i termini di una sequenza geometrica possono diventare rapidamente molto grandi, molto negativi o molto vicini allo zero. Rispetto alle sequenze aritmetiche, i termini cambiano molto più rapidamente, ma mentre le sequenze aritmetiche infinite aumentano o diminuiscono costantemente, le sequenze geometriche possono avvicinarsi a zero, a seconda del fattore comune.

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Una sequenza geometrica è una lista ordinata di numeri in cui ogni termine è il prodotto del termine precedente e un moltiplicatore fisso, diverso da zero, chiamato fattore comune. Ogni termine di una sequenza geometrica è la media geometrica dei termini precedenti e successivi. Le sequenze geometriche infinite con un fattore comune tra +1 e -1 si avvicinano al limite di zero quando i termini vengono aggiunti mentre le sequenze con un fattore comune maggiore di +1 o inferiore a -1 vanno all'infinito più o meno.

Come funzionano le sequenze geometriche

Una sequenza geometrica è definita dal suo numero iniziale a, dal fattore comune r e dal numero di termini S. La corrispondente forma generale di una sequenza geometrica è:
a, ar, ar ^{2, ar 3 ... ar S-1.}

La formula generale per il termine n di una sequenza geometrica (cioè, qualsiasi termine all'interno di quella sequenza) è:
a _{n = ar ^n-1.}

La formula ricorsiva, che definisce un termine rispetto al termine precedente, è:
a _{n = ra n-1}

Un esempio di sequenza geometrica con numero iniziale 3, fattore comune 2 e otto termini è 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Calcolo dell'ultimo termine utilizzando il forma generale elencata sopra, il termine è:

a _{8 = 3 × 2 ^{8-1 = 3 × 2 7 = 3 × 128 = 384.}}

Uso della formula generale per il termine 4:

a _{4 = 3 × 2 ^{4-1 = 3 × 2 3 = 24.}}

Se vuoi usare la formula ricorsiva per il termine 5, quindi il termine 4 = 24 e un _{5 equivale a:}

a _{5 = 2 × 24 = 48.}

Geometrico Proprietà della sequenza

Le sequenze geometriche hanno proprietà speciali per quanto riguarda la media geometrica. La media geometrica di due numeri è la radice quadrata del loro prodotto. Ad esempio, la media geometrica di 5 e 20 è 10 perché il prodotto 5 × 20 = 100 e la radice quadrata di 100 è 10.

Nelle sequenze geometriche, ogni termine è la media geometrica del termine prima di esso e il termine dopo di esso. Ad esempio, nella sequenza 3, 6, 12 ... sopra, 6 è la media geometrica di 3 e 12, 12 è la media geometrica di 6 e 24, e 24 è la media geometrica di 12 e 48.

Altre proprietà delle sequenze geometriche dipendono dal fattore comune. Se il fattore comune r è maggiore di 1, le sequenze geometriche infinite si avvicinano all'infinito positivo. Se r è compreso tra 0 e 1, le sequenze si avvicinano a zero. Se r è compreso tra zero e -1, le sequenze si avvicinano a zero, ma i termini si alternano tra valori positivi e valori negativi. Se r è inferiore a -1, i termini tenderanno all'infinito sia positivo che negativo in quanto si alternano tra valori positivi e negativi.

Le sequenze geometriche e le loro proprietà sono particolarmente utili nei modelli scientifici e matematici dei processi del mondo reale . L'uso di sequenze specifiche può aiutare nello studio di popolazioni che crescono a un tasso fisso in determinati periodi di tempo o in investimenti che generano interesse. Le formule generali e ricorsive consentono di prevedere valori accurati in futuro sulla base del punto di partenza e del fattore comune.