In matematica e geometria, una delle abilità che distingue gli esperti dai pretendenti è la conoscenza di trucchi e scorciatoie. Il tempo che passi per impararli paga nel tempo risparmiato quando risolvi problemi. Ad esempio, vale la pena di conoscere due speciali triangoli rettangoli che, una volta riconosciuti, sono un gioco da risolvere. I due triangoli in particolare sono il 30-60-90 e il 45-45-90.

TL; DR (troppo lungo, non letto)

Due triangoli rettangoli speciali hanno interni angoli di 30, 60 e 90 gradi e 45, 45 e 90 gradi.

Informazioni sui triangoli rettangoli

I triangoli sono poligoni a tre lati i cui angoli interni si sommano a 180 gradi. Il triangolo rettangolo è un caso speciale in cui uno degli angoli è di 90 gradi, quindi gli altri due angoli per definizione devono aggiungere fino a 90. Le funzioni seno, coseno, tangente e altre funzioni trigonometriche forniscono modi per calcolare gli angoli interni dei triangoli rettangoli così come la lunghezza dei loro lati. Un altro strumento di calcolo indispensabile per i triangoli rettangoli è il teorema di Pitagora, che afferma che il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, o c ^{2 = a 2 + b 2.}

Risoluzione di triangoli rettangolari speciali

Quando lavori su qualsiasi tipo di problema del triangolo rettangolo, di solito ti viene dato almeno un angolo e un lato e ti viene chiesto di calcolare gli angoli e i lati rimanenti. Usando la formula di Pitagora sopra, puoi calcolare la lunghezza di ogni lato se ti vengono dati gli altri due. Un grande vantaggio degli speciali triangoli rettangoli è che le proporzioni delle lunghezze dei loro lati sono sempre le stesse, quindi puoi trovare la lunghezza di tutti i lati se ne viene data una sola. Inoltre, se ti viene assegnato un solo lato e il triangolo è speciale, puoi anche trovare i valori degli angoli.

Il triangolo 30-60-90

Come nome implica, il triangolo rettangolo 30-60-90 ha angoli interni di 30, 60 e 90 gradi. Di conseguenza, i lati di questo triangolo cadono nelle proporzioni, 1: 2: √3, dove 1 e √3 sono le lunghezze dei lati opposti e adiacenti e 2 è l'ipotenusa. Questi numeri vanno sempre insieme: se risolvi i lati di un triangolo rettangolo e trovi che si adattano al modello, 1, 2, √3, sai che gli angoli saranno 30, 60 e 90 gradi. Allo stesso modo, se ti viene dato uno degli angoli come 30, sai che gli altri due sono 60 e 90, e anche che i lati avranno le proporzioni, 1: 2: √3.

Il 45- 45-90 Triangolo

Il triangolo 45-45-90 funziona molto come il 30-60-90, tranne che due angoli sono uguali, come i lati opposti e adiacenti. Ha angoli interni di 45, 45 e 90 gradi. Le proporzioni dei lati del triangolo sono 1: 1: √2, con la proporzione dell'ipotenusa √2. Gli altri due lati sono uguali in lunghezza l'uno rispetto all'altro. Se stai lavorando su un triangolo rettangolo e uno degli angoli interni è di 45 gradi, sai in un istante che l'angolo rimanente deve essere anche di 45 gradi, perché l'intero triangolo deve aggiungere fino a 180 gradi.

Triangle Sides and Proportions

Quando si risolvono i due triangoli speciali, tenere presente che sono le proporzioni dei lati che contano, non la loro misura in termini assoluti. Ad esempio, un triangolo ha lati che misurano 1 piede e 1 piede e √2 piedi, quindi sai che è un triangolo 45-45-90 e ha angoli interni di 45, 45 e 90 gradi.

Ma cosa fai con un triangolo rettangolo i cui lati misurano √17 piedi e √17 piedi? Le proporzioni dei lati sono la chiave. Poiché le due parti sono identiche, la proporzione è 1: 1 l'una con l'altra, e poiché è un triangolo rettangolo, la proporzione dell'ipotenusa è 1: √2 con uno degli altri lati. Le proporzioni uguali ti fanno capire che i lati sono 1, 1, √2, che appartiene solo al triangolo speciale 45-45-90. Per trovare l'ipotenusa, moltiplicare √17 per √2 per ottenere √34 piedi.