Le funzioni matematiche sono potenti strumenti per il business, l'ingegneria e le scienze perché possono agire come modelli in miniatura di fenomeni del mondo reale. Per capire le funzioni e le relazioni, è necessario scavare un po 'in concetti come insiemi, coppie ordinate e relazioni. Una funzione è un tipo speciale di relazione che ha solo un valore y per un dato valore x. Esistono altri tipi di relazioni che sembrano funzioni ma che non soddisfano la definizione rigorosa di uno.

TL; DR (troppo lungo, non letto)

Una relazione è un insieme di numeri organizzati in coppie. Una funzione è un tipo speciale di relazione che ha solo un valore y per un dato valore x.

Insiemi, coppie e relazioni ordinate

Per descrivere relazioni e funzioni, aiuta a discutere prima di set e coppie ordinate. In breve, un insieme di numeri è una raccolta di essi, in genere contenuti all'interno di parentesi graffe, come {15,1, 2/3} o {0, .22}. In genere, si definisce un set con una regola, ad esempio tutti i numeri pari tra 2 e 10 inclusi: {2,4,6,8,10}.

Un set può avere un numero qualsiasi di elementi oppure nessuno, cioè il set nullo {}. Una coppia ordinata è un gruppo di due numeri racchiusi tra parentesi, come (0,1) e (45, -2). Per comodità, è possibile chiamare il primo valore in una coppia ordinata il valore x e il secondo il valore y. Una relazione organizza coppie ordinate in un insieme. Ad esempio, il set {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} è una relazione. È possibile tracciare i valori xey di una relazione su un grafico utilizzando gli assi x e y.

Relazioni e funzioni

Una funzione è una relazione in cui ogni dato valore x ha solo uno corrispondente valore y Si potrebbe pensare che con coppie ordinate, ogni x abbia comunque solo un valore y. Tuttavia, nell'esempio di una relazione data sopra, si noti che i valori x 1 e 2 hanno ciascuno due corrispondenti valori y, 0 e 5, e 10 e 15, rispettivamente. Questa relazione non è una funzione. La regola fornisce alla relazione di funzione una definitività che altrimenti non esiste, in termini di valori x. Potresti chiedere, quando x è 1, qual è il valore y? Per la relazione di cui sopra, la domanda non ha una risposta definita; potrebbe essere 0, 5 o entrambi.

Ora esamina un esempio di una relazione che è una funzione vera: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6 )}. I valori x non sono ripetuti da nessuna parte. Come altro esempio, guarda {(-1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Alcuni valori y vengono ripetuti, ma ciò non viola la regola. Puoi ancora dire che quando il valore di x è 0, y è decisamente 5.

Funzioni grafiche: Test linea verticale

Puoi capire se una relazione è una funzione tracciando i numeri su un grafico e applicando il test della linea verticale. Se nessuna linea verticale che passa attraverso il grafico lo interseca a più di un punto, la relazione è una funzione.

Funzioni come equazioni

La scrittura di un insieme di coppie ordinate come una funzione consente di esempio semplice, ma diventa rapidamente noioso quando si dispone di più di pochi numeri. Per risolvere questo problema, i matematici scrivono le funzioni in termini di equazioni, come y = x ^ 2 - 2x + 3. Usando questa equazione compatta, puoi generare quante coppie ordinate vuoi: Inserisci valori diversi per x, fai il matematica, e fuori vengono i tuoi valori y.

Usi di funzioni del mondo reale

Molte funzioni servono come modelli matematici, consentendo alle persone di cogliere dettagli di fenomeni che altrimenti resterebbero misteriosi. Per fare un semplice esempio, l'equazione della distanza per un oggetto che cade è d = .5 x g x t ^ 2, dove t è il tempo in secondi, e g è l'accelerazione dovuta alla gravità. Collega 9,8 per gravità terrestre in metri al secondo al quadrato, e puoi trovare la distanza che un oggetto ha lasciato cadere in qualsiasi momento. Si noti che, per tutta la loro utilità, i modelli hanno limitazioni. L'equazione di esempio funziona bene per far cadere una sfera d'acciaio ma non una piuma perché l'aria rallenta la piuma.