Le equazioni del valore assoluto possono essere un po 'intimidatorie all'inizio, ma se continui a farlo, presto le risolverai facilmente. Quando cerchi di risolvere equazioni di valore assoluto, è utile tenere a mente il significato del valore assoluto.

Definizione del valore assoluto

Il valore assoluto di un numero x
, scritto |   x
| , è la sua distanza da zero su una linea numerica. Ad esempio, -3 è 3 unità lontano da zero, quindi il valore assoluto di -3 è 3. Lo scriviamo in questo modo: |  -3 |  = 3.

Un altro modo di pensarci è che il valore assoluto è la "versione" positiva di un numero. Quindi il valore assoluto di -3 è 3, mentre il valore assoluto di 9, che è già positivo, è 9.

Algebricamente, possiamo scrivere una formula per il valore assoluto che assomiglia a questo:

|   x
|  = x
, se x
≥ 0,

= - x
, se x
≤ 0.

Prendiamo un esempio dove x
= 3. Poiché 3 ≥ 0, il valore assoluto di 3 è 3 (nella notazione del valore assoluto, ovvero: |  3 |  = 3).

E se x
= -3? È meno di zero, quindi |  -3 |  = - (-3). Il contrario, o "negativo", di -3 è 3, quindi |  -3 |  = 3.

Risoluzione delle equazioni del valore assoluto

Ora per alcune equazioni di valore assoluto. I passaggi generali per risolvere un'equazione di valore assoluto sono:

Isola l'espressione del valore assoluto.

Risolvi la "versione" positiva dell'equazione.

Risolvi la versione "negativa" "dell'equazione moltiplicando la quantità sull'altro lato del segno di uguale per -1.

Dai un'occhiata al seguente problema per un esempio concreto dei passaggi.

Esempio: Risolvi l'equazione per x
: |  3 + x
|  - 5 = 4.

Isolare l'espressione del valore assoluto

Avrai bisogno di ottenere |  3 + x
|  da solo sul lato sinistro del segno di uguale. Per fare ciò, aggiungi 5 a entrambi i lati:

|  3 + x
|  - 5 (+ 5) = 4 (+ 5)

|  3 + x
|  = 9.

Risolvi la "versione" positiva dell'equazione

Risolvi per x
come se il segno del valore assoluto non fosse lì!

|  3 + x
|  = 9 → 3 + x
= 9

È facile: basta sottrarre 3 da entrambi i lati.

3 + x
(-3) = 9 (-3)

x
= 6

Quindi una soluzione all'equazione è che x
= 6.

Risolvi la "versione" negativa dell'equazione

Ricomincia da |  3 + x
|  = 9. L'algebra nel passo precedente mostrava che x
poteva essere 6. Ma poiché questa è un'equazione di valore assoluto, c'è un'altra possibilità da considerare. Nell'equazione sopra, il valore assoluto di "qualcosa" (3 + x
) è uguale a 9. Certo, il valore assoluto di 9 positivo è uguale a 9, ma c'è anche un'altra opzione qui! Anche il valore assoluto di -9 è uguale a 9. Quindi lo sconosciuto "qualcosa" potrebbe anche essere uguale a -9.

In altre parole: 3 + x
= -9.

Il modo rapido per arrivare a questa seconda versione è di moltiplicare la quantità sull'altro lato degli uguali dall'espressione del valore assoluto (9, in questo caso) di -1, quindi risolvere l'equazione da lì.

Quindi: |  3 + x
|  = 9 → 3 + x
= 9 × (-1)

3 + x
= -9

Sottrai 3 da entrambi i lati per ottenere :

3 + x
(-3) = -9 (-3)

x
= -12

Quindi le due soluzioni sono: x
= 6 o x
= -12.

E ce l'hai! Questi tipi di equazioni richiedono pratica, quindi non preoccuparti se all'inizio stai lottando. Continua a farlo e sarà più facile!