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    Come semplificare le espressioni razionali: procedura dettagliata

    Prima di iniziare a semplificare o altrimenti manipolare le espressioni razionali, prenditi un momento per rivedere qual è l'espressione razionale stessa: una frazione con un polinomio sia nel numeratore che nel denominatore. O, per dirla in altro modo, un rapporto tra un polinomio e un altro. Una volta identificata un'espressione razionale, il processo di semplificazione si riduce a tre passaggi.
    I passaggi per semplificare le espressioni razionali

    Il processo per semplificare le funzioni razionali segue una tabella di marcia abbastanza semplice. La prima cosa che devi fare è combinare termini simili, se non l'hai già fatto, per aiutarti a vedere chiaramente i polinomi.

    Successivamente, considera ogni polinomio. A volte tutto ciò che devi fare è scrivere ogni termine. Ad esempio, è chiaro che 4x (che in realtà è un polinomio, anche se ha solo un termine) ha due fattori: 4 e x. Ma con i polinomi più complicati, il tuo strumento migliore è spesso quello di riconoscere modelli per tipi specifici di polinomi di cui hai già imparato. Ad esempio, se hai prestato molta attenzione alle tue formule, potresti ricordare che un polinomio del modulo a 2 - b 2 si distingue per (a + b) (a - b).

    Una volta che i polinomi sono stati completamente fattorizzati, l'ultimo passaggio è la cancellazione di tutti i fattori comuni che appaiono sia nel numeratore che nel denominatore. Il risultato è il tuo polinomio semplificato.


    Suggerimenti

  • Che cosa succede se i polinomi nella tua espressione razionale non sono di una forma che sai facilmente calcolare ? Esistono altre tecniche che puoi utilizzare per fattorizzarle, come il completamento del quadrato o l'utilizzo della formula quadratica.


    Un avvertimento sul denominatore

    Potresti non essere sorpreso di sentire che c'è un piccolo problema qui. Di solito il dominio (o l'insieme dei possibili valori x) per la tua espressione razionale sono considerati l'insieme di tutti i numeri reali. Ma se succede qualcosa per rendere il denominatore della tua frazione zero, il risultato è una frazione indefinita.

    Cosa renderebbe il tuo denominatore zero? Di solito è sufficiente un piccolo esame per scoprirlo. Ad esempio, se il denominatore della tua frazione è stato ridotto ai fattori (x + 2) (x - 2), allora il valore x \u003d -2 renderebbe il primo fattore uguale a zero e x \u003d 2 renderebbe il secondo fattore uguale a zero.

    Quindi entrambi questi valori, -2 e 2, devono essere esclusi dal dominio della tua espressione razionale. Normalmente noterai questo con il segno "non uguale" o ≠. Ad esempio, se è necessario escludere -2 e 2 dal dominio, si dovrebbe scrivere x ≠ -2, 2.
    Semplificazione delle espressioni razionali: esempi

    Ora che si comprende il processo di semplificazione razionale espressioni, è tempo di esaminare un paio di esempi.

    Esempio 1: semplificare l'espressione razionale (x 2 - 4) /(x 2+ 4x + 4)

    Non ci sono termini simili da combinare qui, quindi puoi saltare quel primo passo. Successivamente, con i tuoi occhi acuti e un po 'di pratica, puoi notare che il numeratore e il denominatore sono entrambi facilmente fattorizzati:

    (x + 2) (x - 2) /(x + 2) (x + 2 )

    Forse noterai anche che (x + 2) è un fattore sia nel numeratore che nel denominatore. Una volta annullato il fattore condiviso, rimani con:

    (x - 2) /(x + 2)

    Hai semplificato il più possibile l'espressione razionale, ma c'è un'altra cosa da fare: identificare eventuali "zero" o radici che porterebbero a una frazione indefinita, in modo da poterli escludere dal dominio. In questo caso, è facile vedere dall'esame che quando x \u003d -2, il fattore in basso sarà uguale a zero. Quindi la tua espressione razionale semplificata è in realtà:

    (x - 2) /(x + 2), x ≠ -2

    Esempio 2: Semplifica l'espressione razionale x /(x 2 - 4x)

    Non ci sono termini simili da combinare, quindi puoi passare direttamente al factoring esaminando. Non è troppo difficile capire che puoi fattorizzare una x dal termine inferiore, che ti dà:

    x /x (x - 4)

    Puoi annullare il fattore x da entrambi numeratore e denominatore, che ti lascia con:

    1 /(x - 4)

    Ora la tua espressione razionale è semplificata, ma devi anche annotare tutti i valori x che porterebbero a un indefinito frazione. In questo caso, x \u003d 4 restituirà un valore zero nel denominatore. Quindi la tua risposta è:

    1 /(x - 4), x ≠ 4

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