Non puoi risolvere un'equazione che contiene una frazione con un denominatore irrazionale, il che significa che il denominatore contiene un termine con un segno radicale. Ciò include radici quadrate, cubiche e superiori. Liberarsi del segno radicale si chiama razionalizzare il denominatore. Quando il denominatore ha un termine, puoi farlo moltiplicando i termini superiore e inferiore per il radicale. Quando il denominatore ha due termini, la procedura è un po 'più complicata. Si moltiplica la parte superiore e inferiore del coniugato del denominatore e si espande e semplicemente il numeratore.

TL; DR (Troppo lungo, non letto)

Per razionalizzare una frazione, si ha moltiplicare il numeratore e il denominatore per un numero o un'espressione che elimina i segni radicali nel denominatore.

Razionalizzare una frazione con un termine nel denominatore

Una frazione con la radice quadrata di un singolo termine nel denominatore è il più semplice da razionalizzare. In generale, la frazione assume la forma a /√x. Lo razionalizzi moltiplicando il numeratore e il denominatore di √x.

√x /√x • a /√x = a√x /x

Poiché tutto ciò che hai fatto è moltiplicare il frazione di 1, il suo valore non è cambiato.

Esempio:

Razionalizza 12 /√6

Moltiplica numeratore e denominatore di √6 per ottenere 12√6 /6. Puoi semplificare questo dividendo 6 in 12 per ottenere 2, quindi la forma semplificata della frazione razionalizzata è

2√6

Razionalizzazione di una frazione con due termini nel Denominatore

Supponiamo di avere una frazione nella forma (a + b) /(√x + √y). Puoi eliminare il segno radicale nel denominatore moltiplicando l'espressione per il suo coniugato. Per un binomio generale della forma x + y, il coniugato è x - y. Quando li moltiplichi insieme, ottieni x ^{2 - y 2. Applicando questa tecnica alla frazione generalizzata sopra:}

(a + b) /(√ x - √y) • (√x - √y) /(√x - √y)

(a + b) • (√x - √y) /x - y

Espandi il numeratore per ottenere

(a√x -a√y + b√x - b√y ) /x - y

Questa espressione diventa meno complicata quando si sostituiscono gli interi per alcune o tutte le variabili.

Esempio:

Razionalizza il denominatore della frazione 3 /(1 - √y)

Il coniugato del denominatore è 1 - (-√y) = 1+ √y. Moltiplica il numeratore e il denominatore con questa espressione e semplifica:

[3 • (1 + √y)} /1 - y

(3 + 3√y) /1 - y

Razionalizzazione delle radici del cubo

Quando hai una radice cubica nel denominatore, devi moltiplicare il numeratore e il denominatore per la radice cubica del quadrato del numero sotto il segno radicale per sbarazzarti del segno radicale nel denominatore. In generale, se si ha una frazione nella forma a / ^{3√x, moltiplicare la parte superiore e inferiore per 3√x 2.}

Esempio:

Razionalizza il denominatore: 7 / ^3√x

Moltiplica il numeratore e il denominatore per ^{3√x 2 per ottenere}

7 • ^{3√x 2 / 3√x • 3√x 2 = 7 • 3√x 2 / 3√x 3}

7 • ^{3√x 2 /x}