Le frazioni radicali non sono piccole frazioni ribelli che rimangono fuori fino a tardi, bevendo e fumando erba. Invece, sono frazioni che includono i radicali - di solito radici quadrate quando vieni introdotto per la prima volta al concetto, ma in seguito potresti anche incontrare radici cubiche, radici quarte e simili, tutte ugualmente chiamate radicali. A seconda esattamente di ciò che il tuo insegnante ti sta chiedendo di fare, ci sono due modi per semplificare le frazioni radicali: o estrai completamente il radicale, semplificalo o "razionalizza" la frazione, il che significa che elimini il radicale dal denominatore, ma potrebbe ancora avere un radicale nel numeratore.

Annullare le espressioni radicali da una frazione

Considera la tua prima opzione, considerando il radicale fuori dalla frazione. Ci sono in realtà due modi per farlo. Se lo stesso radicale esiste in tutti i termini, nella parte superiore e inferiore della frazione, puoi semplicemente calcolare e annullare l'espressione radicale. Ad esempio, se hai:

(2√3) /(3√3 _) _

Puoi calcolare sia i radicali, perché sono presenti in ogni termine nel numeratore e denominatore. Questo ti lascia con:

√3 /√3 × 2/3

E poiché qualsiasi frazione con gli stessi valori diversi da zero in numeratore e denominatore è uguale a uno, puoi riscrivere questo come:

1 × 2/3

O semplicemente 2/3.

Semplificazione dell'espressione radicale

A volte ti troverai di fronte a un espressione radicale che non ha una risposta concisa, come √3 dell'esempio precedente. In tal caso, di solito manterrai il termine radicale così com'è, usando operazioni di base come il factoring o l'annullamento per rimuoverlo o isolarlo. Ma a volte c'è una risposta ovvia. Considera la seguente frazione:

(√4) /(√9)

In questo caso, se conosci le radici quadrate, puoi vedere che entrambi i radicali rappresentano effettivamente interi familiari. La radice quadrata di 4 è 2, e la radice quadrata di 9 è 3. Quindi se vedi radici quadrate familiari, puoi semplicemente riscrivere la frazione con esse nella loro forma semplificata e intera. In questo caso, avresti:

2/3

Funziona anche con le radici dei cubi e altri radicali. Ad esempio, la radice cubica di 8 è 2 e la radice cubica di 125 è 5. Quindi, se hai incontrato:

( ^{3√8) /( 3√125)}

Saresti, con un po 'di pratica, in grado di vedere subito che semplifica molto più semplice e facile da gestire:

2/5

Razionalizzazione del denominatore

Spesso gli insegnanti ti consentono di mantenere espressioni radicali nel numeratore della tua frazione; ma, proprio come il numero zero, i radicali causano problemi quando si presentano al denominatore o al numero inferiore della frazione. Quindi, l'ultimo modo in cui ti potrebbe essere chiesto di semplificare le frazioni radicali è un'operazione chiamata a razionalizzarli, il che significa semplicemente rimuovere il radicale dal denominatore. Spesso, ciò significa che l'espressione radicale viene visualizzata al numeratore.

Considera la frazione

4 /_√_5

Non puoi semplificare facilmente _√_5 per un numero intero, e anche se lo analizzi, ti rimane una frazione con un carattere radicale nel denominatore, come segue:

1 /_√_5 × 4/1

Quindi nessuno dei metodi già discussi funzionerà. Ma se si ricordano le proprietà delle frazioni, una frazione con qualsiasi numero diverso da zero su entrambi gli uguali superiore e inferiore 1. Quindi si potrebbe scrivere:

√_5 /
√_5 = 1

E poiché puoi moltiplicare 1 volte qualsiasi altra cosa senza cambiare il valore di quell'altra cosa, puoi anche scrivere quanto segue senza realmente cambiare il valore della frazione:

√_5 /
√ 5 × 4 /
√_5

Una volta che si moltiplica, succede qualcosa di speciale. Il numeratore diventa 4_√_5, il che è accettabile perché il tuo obiettivo era semplicemente quello di eliminare il radicale dal denominatore. Se compare nel numeratore, puoi gestirlo.

Nel frattempo, il denominatore diventa √_5 ×
√ 5 o (
√_5) ^{2. E poiché una radice quadrata e un quadrato si cancellano a vicenda, ciò semplifica semplicemente 5. Quindi la tua frazione è ora:}

4_√_5 /5, che è considerata una frazione razionale perché non c'è alcun radicale nel denominatore.