I tre metodi più comunemente usati per risolvere i sistemi di equazione sono la sostituzione, l'eliminazione e le matrici aumentate. Sostituzione ed eliminazione sono metodi semplici che possono risolvere efficacemente la maggior parte dei sistemi di due equazioni in pochi passaggi. Il metodo delle matrici aumentate richiede più passaggi, ma la sua applicazione si estende a una maggiore varietà di sistemi.
Sostituzione
La sostituzione è un metodo per risolvere i sistemi di equazioni rimuovendo tutte le variabili tranne una da una le equazioni e quindi risolvendo quell'equazione. Ciò si ottiene isolando l'altra variabile in un'equazione e sostituendo i valori per queste variabili in un'altra equazione. Ad esempio, per risolvere il sistema di equazioni x + y \u003d 4, 2x - 3y \u003d 3, isolare la variabile x nella prima equazione per ottenere x \u003d 4 - y, quindi sostituire questo valore di y nella seconda equazione per ottenere 2 (4 - y) - 3y \u003d 3. Questa equazione si semplifica a -5y \u003d -5 o y \u003d 1. Inserire questo valore nella seconda equazione per trovare il valore di x: x + 1 \u003d 4 o x \u003d 3.
Elimination
L'eliminazione è un altro modo per risolvere i sistemi di equazioni riscrivendo una delle equazioni in termini di una sola variabile. Il metodo di eliminazione ottiene questo risultato aggiungendo o sottraendo equazioni l'una dall'altra per annullare una delle variabili. Ad esempio, aggiungendo le equazioni x + 2y \u003d 3 e 2x - 2y \u003d 3 si ottiene una nuova equazione, 3x \u003d 6 (notare che i termini y annullati). Il sistema viene quindi risolto utilizzando gli stessi metodi utilizzati per la sostituzione. Se è impossibile cancellare le variabili nelle equazioni, sarà necessario moltiplicare l'intera equazione per un fattore per far combaciare i coefficienti.
Matrice aumentata
Le matrici aumentate possono anche essere usate per La matrice aumentata è composta da righe per ogni equazione, colonne per ogni variabile e una colonna aumentata che contiene il termine costante sull'altro lato dell'equazione. Ad esempio, la matrice aumentata per il sistema di equazioni 2x + y \u003d 4, 2x - y \u003d 0 è [[2 1], [2 -1] ... [4, 0]].
Determinazione della soluzione
Il passaggio successivo prevede l'utilizzo di operazioni di riga elementari come la moltiplicazione o la divisione di una riga per una costante diversa da zero e l'aggiunta o la sottrazione di righe. L'obiettivo di queste operazioni è convertire la matrice in forma di riga, in cui la prima voce diversa da zero in ogni riga è 1, le voci sopra e sotto questa voce sono tutti zeri e la prima voce diversa da zero per ogni riga è sempre a destra di tutte queste voci nelle righe sopra di essa. La forma di riga-scaglione per la matrice sopra è [[1 0], [0 1] ... [1, 2]]. Il valore della prima variabile è dato dalla prima riga (1x + 0y \u003d 1 o x \u003d 1). Il valore della seconda variabile è dato dalla seconda riga (0x + 1y \u003d 2 o y \u003d 2).
Applicazioni
Sostituzione ed eliminazione sono metodi più semplici per risolvere le equazioni e sono utilizzate molto più frequentemente di matrici aumentate nell'algebra di base. Il metodo di sostituzione è particolarmente utile quando una delle variabili è già isolata in una delle equazioni. Il metodo di eliminazione è utile quando il coefficiente di una delle variabili è lo stesso (o il suo equivalente negativo) in tutte le equazioni. Il vantaggio principale delle matrici aumentate è che può essere utilizzato per risolvere sistemi di tre o più equazioni in situazioni in cui la sostituzione e l'eliminazione sono impossibili o impossibili.
