Una funzione periodica è una funzione che ripete i suoi valori a intervalli regolari o "periodi". Pensa a un battito cardiaco o al ritmo sottostante in una canzone: ripete la stessa attività su una base battere. Il grafico di una funzione periodica sembra ripetersi ripetutamente un singolo modello.

TL; DR (troppo lungo; non letto)

Una funzione periodica ripete i suoi valori su intervalli regolari o "punti".
Tipi di funzioni periodiche

Le funzioni periodiche più famose sono funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante, ecc. Altri esempi di funzioni periodiche in natura include onde luminose, onde sonore e fasi lunari. Ognuno di questi, se rappresentato sul piano delle coordinate, crea uno schema ripetuto sullo stesso intervallo, facilitando la previsione.

Il periodo di una funzione periodica è l'intervallo tra due punti "corrispondenti" sul grafico . In altre parole, è la distanza lungo l'asse x che la funzione deve percorrere prima che inizi a ripetere il suo schema. Le funzioni seno e coseno di base hanno un periodo di 2π, mentre la tangente ha un periodo di π.

Un altro modo per comprendere il periodo e la ripetizione delle funzioni di innesco è di pensarci in termini di cerchio unitario. Nel cerchio unitario, i valori vanno attorno al cerchio quando aumentano di dimensioni. Quel movimento ripetitivo è la stessa idea che si riflette nello schema costante di una funzione periodica. E per seno e coseno, devi fare un percorso completo attorno al cerchio (2π) prima che i valori inizino a ripetersi.
Equazione per una funzione periodica

Una funzione periodica può anche essere definita come un'equazione con questo modulo:

f (x + nP) \u003d f (x)

Dove P è il periodo (una costante diversa da zero) e n è un numero intero positivo.

Ad esempio, puoi scrivere la funzione seno in questo modo:

sin (x + 2π) \u003d sin (x)

n \u003d 1 in questo caso, e il punto, P, per una funzione sinusoidale è 2π.

Provala provando un paio di valori per x, oppure guarda il grafico: Scegli un valore x, quindi sposta 2π in entrambe le direzioni lungo l'asse x; il valore y dovrebbe rimanere lo stesso.

Ora provalo quando n \u003d 2:

sin (x + 2 (2π)) \u003d sin (x)

sin (x + 4π) \u003d sin (x).

Calcola i diversi valori di x: x \u003d 0, x \u003d π, x \u003d π /2 o controlla sul grafico.

La funzione cotangente segue le stesse regole, ma il suo periodo è π radianti invece di 2π radianti, quindi il suo grafico e la sua equazione si presentano così:

cot (x + nπ) \u003d cot (x)

Nota che le funzioni tangenti e cotangenti sono periodiche, ma non sono continue: ci sono "interruzioni" nei loro grafici.