Con il Super Bowl proprio dietro l'angolo, gli atleti e i fan del mondo si concentrano saldamente sul grande gioco. Ma per _math_letes, il grande gioco potrebbe far venire in mente un piccolo problema relativo ai possibili punteggi in una partita di calcio. Con solo opzioni limitate per la quantità di punti che puoi segnare, alcuni totali semplicemente non possono essere raggiunti, ma qual è il più alto? Se vuoi sapere cosa collega le monete, il calcio e le crocchette di pollo di McDonald, questo è un problema per te.
Il problema matematico del Super Bowl

Il problema riguarda i possibili punteggi dei Rams di Los Angeles o del Nuovo I patrioti dell'Inghilterra potrebbero ottenere domenica senza una sicurezza o una conversione in due punti. In altre parole, i modi consentiti per aumentare i loro punteggi sono obiettivi sul campo a 3 punti e touchdown a 7 punti. Quindi, senza sicurezza, non è possibile ottenere un punteggio di 2 punti in una partita con qualsiasi combinazione di 3 e 7 secondi. Allo stesso modo, non puoi nemmeno raggiungere un punteggio di 4, né puoi segnare 5.

La domanda è: qual è il punteggio più alto che non può essere raggiunto con solo 3 punti goal sul campo e touchdown a 7 punti?

Naturalmente, i touchdown senza conversione valgono 6, ma dato che puoi comunque raggiungerlo con due goal sul campo, non importa il problema. Inoltre, dato che qui abbiamo a che fare con la matematica, non devi preoccuparti delle tattiche della squadra specifica o di eventuali limiti sulla loro capacità di segnare punti.

Prova a risolverlo da solo prima di andare avanti!
Trovare una soluzione (la via lenta)

Questo problema ha alcune soluzioni matematiche complesse (vedi Risorse per i dettagli completi, ma il risultato principale sarà introdotto di seguito), ma è un buon esempio di come non è t necessario
per trovare la risposta.

Tutto quello che devi fare per trovare una soluzione di forza bruta è semplicemente provare ciascuno dei punteggi a turno. Quindi sappiamo che non puoi segnare 1 o 2, perché sono meno di 3. Abbiamo già stabilito che 4 e 5 non sono possibili, ma 6 lo è, con due field goal. Dopo 7 (che è possibile), puoi segnare 8? No. Tre field goal danno 9, e un field goal e un touchdown convertito fanno 10. Ma non puoi ottenere 11.

Da questo punto in poi, un piccolo lavoro mostra che:
\\ begin {allineato} 3 × 4 &\u003d 12 \\\\ 7 + (3 × 2) &\u003d 13 \\\\ 7 × 2 &\u003d 14 \\\\ 3 × 5 &\u003d 15 \\\\ 7 + (3 × 3) &\u003d 16 \\\\ (7 × 2) + 3 &\u003d 17 \\ end {align}

E infatti, puoi continuare così per tutto il tempo che desideri. La risposta sembra essere 11. Ma lo è?
La soluzione algebrica

I matematici chiamano questi problemi "problemi con le monete di Frobenius". La forma originale si riferiva alle monete, come: Se avessi solo monete valutate 4 centesimi e 11 centesimi (non monete reali, ma ancora una volta, questo è un problema di matematica per te), qual è la più grande quantità di denaro che non potresti produrre.

La soluzione, in termini di algebra, è quella con una punteggio di p
punti e un punteggio di q
punti, il punteggio più alto che non puoi ottenere ( N
) è dato da:
N \u003d pq \\; - \\; (p + q)

Quindi inserendo i valori del problema del Super Bowl si ottiene:
\\ begin {allineato} N &\u003d 3 × 7 \\; - \\; (3 + 7) \\\\ &\u003d 21 \\; - \\; 10 \\\\ &\u003d 11 \\ end {allineato}

Qual è la risposta che abbiamo ottenuto lentamente. E se potessi segnare touchdown senza conversione (6 punti) e touchdown con conversioni di un punto (7 punti)? Verifica se puoi utilizzare la formula per elaborarla prima di continuare a leggere.

In questo caso, la formula diventa:
\\ begin {allineato} N &\u003d 6 × 7 \\; - \\; (6 + 7) \\\\ &\u003d 42 \\; - \\; 13 \\\\ &\u003d 29 \\ end {align} The Chicken McNugget Problem

Quindi il gioco è finito e vuoi premiare la squadra vincente con un viaggio a McDonald's. Ma vendono McNugget solo in scatole da 9 o 20. Quindi qual è il numero più alto di pepite che non puoi comprare con questi numeri di casella (obsoleti)? Prova a usare la formula per trovare la risposta prima di continuare a leggere.

Poiché
N \u003d pq \\; - \\; (p + q)

E con p
\u003d 9 e q
\u003d 20:
\\ begin {allineato} N &\u003d 9 × 20 \\; - \\; (9 + 20) \\\\ &\u003d 180 \\; - \\; 29 \\\\ &\u003d 151 \\ end {allineato}

Quindi, a condizione che tu stia acquistando più di 151 pepite - la squadra vincente sarà probabilmente abbastanza affamata, dopo tutto - potresti acquistare qualsiasi numero di pepite che desideri con una combinazione di scatole.

Potresti chiederti perché abbiamo coperto solo le versioni a due numeri di questo problema. E se incorporassimo delle sicurezze o se McDonalds vendesse scatole di pepite di tre dimensioni? Non esiste nessuna formula chiara
in questo caso, e mentre la maggior parte delle versioni può essere risolta, alcuni aspetti della domanda sono completamente irrisolti.

Quindi, forse, quando guardi il gioco o mangiando pezzetti di pollo delle dimensioni di un boccone puoi affermare che stai cercando di risolvere un problema aperto in matematica - vale la pena provare a uscire dalle faccende!