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    Cosa sono le identità a doppio angolo?

    Quando inizi a fare trigonometria e calcolo, potresti imbatterti in espressioni come sin (2θ), dove ti viene chiesto di trovare il valore di θ. Giocare a tentativi ed errori con grafici o una calcolatrice per trovare la risposta varia da un incubo tirato fuori a del tutto impossibile. Fortunatamente, le identità a doppio angolo sono qui per aiutarti. Questi sono casi speciali di ciò che è noto come una formula composta, che suddivide le funzioni delle forme (A + B) o (A - B) in funzioni di soli A e B.
    Le identità a doppio angolo per Sine

    Esistono tre identità a doppio angolo, una per le funzioni seno, coseno e tangente. Ma le identità seno e coseno possono essere scritte in molti modi. Ecco i due modi di scrivere l'identità a doppio angolo per la funzione seno:

  • sin (2θ) \u003d 2sinθcosθ

  • sin (2θ) \u003d (2tanθ) /(1 + tan 2θ)


    Le identità a doppio angolo per il coseno

    Esistono ancora più modi per scrivere l'identità a doppio angolo per il coseno:

  • cos (2θ) \u003d cos 2θ - sin

  • cos (2θ) \u003d 2cos 2θ - 1

  • cos (2θ) \u003d 1 - 2sin

  • cos (2θ) \u003d (1 - tan 2θ) /(1 + tan 2θ)


    L'identità del doppio angolo per la tangente

    Per fortuna, c'è solo un modo per scrivere l'identità del doppio angolo per la funzione tangente:

  • tan (2θ) \u003d (2tanθ) /(1 - tan 2θ)


    Usare le identità a doppio angolo

    Immagina di essere di fronte a un triangolo rettangolo in cui conosci la lunghezza di i suoi lati, ma non la misura dei suoi angoli. Ti è stato chiesto di trovare θ, dove θ è uno degli angoli del triangolo. Se l'ipotenusa del triangolo misura 10 unità, il lato adiacente al tuo angolo misura 6 unità e il lato opposto all'angolo misura 8 unità, non importa che non conosci la misura di θ; puoi usare la tua conoscenza di seno e coseno, oltre a una delle formule a doppio angolo, per trovare la risposta.

    1. Trova seno e coseno

      Dopo aver scelto un angolo, è possibile definire il seno come il rapporto del lato opposto sopra l'ipotenusa e il coseno come il rapporto del lato adiacente sopra l'ipotenusa. Quindi nell'esempio appena riportato hai:

      sinθ \u003d 8/10

      cosθ \u003d 6/10

      Trovi queste due espressioni perché sono le più importanti blocchi per le formule a doppio angolo.

    2. Scegli una formula a doppio angolo

      Poiché ci sono così tante formule a doppio angolo tra cui scegliere, puoi selezionare quella che appare più facile da calcolare e restituirà il tipo di informazioni necessarie. In questo caso, poiché conosci già sinθ e cosθ, sin (2θ) \u003d 2sinθcosθ sembra conveniente.

    3. Sostituisci in valori noti

      Conosci già i valori di sinθ e cosθ, quindi sostituiscili nell'equazione:

      sin (2θ) \u003d 2 (8/10) (6/10)

      Una volta semplificata, avrai:

      sin (2θ) \u003d 96/100

    4. Converti in forma decimale

      La maggior parte dei grafici trigonometrici è data in decimali, quindi lavora la divisione rappresentata dalla frazione per convertirla in forma decimale . Ora hai:

      sin (2θ) \u003d 0.96

    5. Trova il seno inverso

      Infine, trova il seno inverso o l'arcoseno di 0.96, che è scritto come peccato -1 (0.96). Oppure, in altre parole, utilizzare la calcolatrice o un grafico per approssimare l'angolo che ha un seno di 0.96. A quanto pare, questo è quasi esattamente uguale a 73,7 gradi. Quindi 2θ \u003d 73,7 gradi.

    6. Risolvi per θ

      Dividi ciascun lato dell'equazione per 2. Questo ti dà:

      θ \u003d 36,85 gradi

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