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    Come risolvere le disuguaglianze di valore assoluto

    Risolvere le disuguaglianze di valore assoluto è un po 'come risolvere equazioni di valore assoluto, ma ci sono un paio di dettagli extra da tenere a mente. Aiuta già a sentirsi a proprio agio nel risolvere equazioni di valore assoluto, ma va bene anche se le stai imparando insieme!
    Definizione di disuguaglianza di valore assoluto

    Innanzitutto, una disuguaglianza di valore assoluta è una disuguaglianza un'espressione di valore assoluto. Ad esempio,

    |

     5 + x
    |

     - 10> 6 è una disuguaglianza di valore assoluta perché ha un segno di disuguaglianza,> e un'espressione di valore assoluto, |

     5 + x
    |

    .
    Come risolvere una disuguaglianza di valore assoluto

    I passaggi per risolvere una disuguaglianza di valore assoluto sono molto simili ai passaggi per risolvere un'equazione di valore assoluto:

    Passaggio 1: isolare il valore assoluto espressione da un lato della disuguaglianza.

    Passaggio 2: Risolvi la "versione" positiva della disuguaglianza.

    Passaggio 3: Risolvi la "versione" negativa della disuguaglianza moltiplicando la quantità su l'altro lato della disuguaglianza di −1 e capovolgendo il segno di disuguaglianza.

    È molto da prendere tutto in una volta, quindi ecco un esempio che ti guiderà attraverso i passaggi.

    Risolvi la disuguaglianza per x
    : |

     5 + 5_x_ |

     - 3> 2.

    1. Isola l'espressione del valore assoluto

      Per fare ciò, ottieni |

       5 + 5_x_ |

       da solo sul lato sinistro della disuguaglianza. Tutto quello che devi fare è aggiungere 3 per ogni lato:

      |

       5 + 5_x_ |

       - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)

      |

       5 + 5_x_ |

       > 5.

      Ora ci sono due "versioni" della disuguaglianza che dobbiamo risolvere: la "versione" positiva e la "versione negativa".

    2. Risolvi la "Versione" positiva di la disuguaglianza

      Per questo passaggio, supponiamo che le cose siano come appaiono: che 5 + 5_x_> 5.

      |

       5 + 5_x_ |

       > 5 → 5 + 5_x_> 5.

      Questa è una semplice disuguaglianza; devi solo risolvere per x
      come al solito. Sottrai 5 da entrambi i lati, quindi dividi entrambi i lati per 5.

      5 + 5_x_> 5

      5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (sottrai cinque da entrambi i lati)

      5_x_> 0

      5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (dividere entrambi i lati per cinque)

      x
      > 0.

      Non male! Quindi una possibile soluzione alla nostra disuguaglianza è che x
      > 0. Ora, poiché ci sono valori assoluti coinvolti, è tempo di considerare un'altra possibilità.

    3. Risolvi la "Versione" negativa della disuguaglianza

      Per capire questo prossimo bit, aiuta a ricordare cosa significa valore assoluto. Il valore assoluto misura la distanza di un numero da zero. La distanza è sempre positiva, quindi 9 è a nove unità da zero, ma anche −9 è a nove unità da zero.

      Quindi |

       9 |

       \u003d 9, ma |

       −9 |

       \u003d 9 pure.

      Ora torniamo al problema sopra. Il lavoro sopra ha mostrato che |

       5 + 5_x_ |

       > 5; in altre parole, il valore assoluto di "qualcosa" è maggiore di cinque. Ora, qualsiasi numero positivo maggiore di cinque sarà più lontano da zero di cinque. Quindi la prima opzione era che "qualcosa", 5 + 5_x_, è più grande di 5.

      Cioè: 5 + 5_x_> 5.

      Questo è lo scenario affrontato sopra, nel passaggio 2.

      Ora pensa un po 'oltre. Cos'altro distano cinque unità da zero? Bene, il negativo è cinque. E qualsiasi cosa ulteriore lungo la linea del numero da cinque negativi sarà ancora più lontana da zero. Quindi il nostro "qualcosa" potrebbe essere un numero negativo che è più lontano da zero rispetto a cinque negativi. Ciò significa che sarebbe un numero dal suono più grande, ma tecnicamente inferiore rispetto ai cinque negativi perché si sta muovendo nella direzione negativa sulla linea numerica.

      Quindi il nostro "qualcosa", 5 + 5x , potrebbe essere inferiore a -5.

      5 + 5_x_ <−5

      Il modo rapido per farlo algebricamente è moltiplicare la quantità dall'altra parte della disuguaglianza, 5, per negativo uno, quindi capovolgi il segno di disuguaglianza:

      |

       5 + 5x |

       > 5 → 5 + 5_x_ <- 5

      Quindi risolvi come al solito.

      5 + 5_x_ <-5

      5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (sottrarre 5 da entrambi i lati)

      5_x_ <−10

      5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)

      x
      <−2.

      Quindi le due possibili soluzioni alla disuguaglianza sono x
      > 0 o x
      <−2. Controlla te stesso inserendo alcune possibili soluzioni per assicurarti che la disuguaglianza sia ancora vera.

      Disuguaglianze di valore assoluto senza soluzione

      Esiste uno scenario in cui non ci sarebbero soluzioni per un valore assoluto disuguaglianza. Poiché i valori assoluti sono sempre positivi, non possono essere uguali o inferiori a numeri negativi.

      Quindi |

        x
      |

       <−2 non ha nessuna soluzione
      perché il risultato di un'espressione di valore assoluto deve essere positivo.
      Interval Notation

      Per scrivere la soluzione al nostro esempio principale nella notazione di intervallo, pensate a come appare la soluzione sulla linea numerica. La nostra soluzione era x
      > 0 o x
      <−2. Su una linea numerica, si tratta di un punto aperto a 0, con una linea che si estende all'infinito positivo e un punto aperto a −2, con una linea che si estende all'infinito negativo. Queste soluzioni sono rivolte l'una verso l'altra, non l'una verso l'altra, quindi prendi ogni pezzo separatamente.

      Per x> 0 su una linea numerica, c'è un punto aperto a zero e poi una linea che si estende all'infinito. Nella notazione ad intervallo, un punto aperto è illustrato tra parentesi, () e un punto chiuso, o disuguaglianze con ≥ o ≤, userebbe le parentesi, []. Quindi per x
      > 0, scrivi (0, ∞).

      L'altra metà, x
      <−2, su una riga numerica è un punto aperto in - 2 e quindi una freccia che si estende fino a ∞∞. Nella notazione di intervallo, questo è (−∞, −2).

      "O" nella notazione di intervallo è il segno dell'unione, ∪.

      Quindi la soluzione nella notazione di intervallo è (−∞, - 2) ∪ (0, ∞).

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