Proprio come in algebra, quando inizi a imparare la trigonometria, accumulerai serie di formule utili per la risoluzione dei problemi. Uno di questi set sono le identità a metà angolo, che è possibile utilizzare per due scopi. Uno è convertire le funzioni trigonometriche di (θ /2) in funzioni in termini di più familiari (e più facilmente manipolabili) θ. L'altro è trovare il valore effettivo delle funzioni trigonometriche di θ, quando θ può essere espresso come metà di un angolo più familiare.
Revisione delle identità a mezzo angolo
Molti libri di testo di matematica elencano quattro metà principali -angolare le identità. Ma applicando un mix di algebra e trigonometria, queste equazioni possono essere massaggiate in un numero di forme utili. Non devi necessariamente memorizzare tutti questi (a meno che l'insegnante insista), ma almeno dovresti capire come usarli:
Identità di mezzo angolo per seno -
< li> sin (θ /2) \u003d ± √ [(1 - cosθ) /2]
Identità di mezzo angolo per coseno
Identità di mezzo angolo per tangente
Identità a mezzo angolo per Cotangent
Quindi, come si usano le identità a mezzo angolo? Il primo passo è riconoscere che hai a che fare con un angolo che è la metà di un angolo più familiare.
immagina che ti venga chiesto di trovare il "sine of the angle 15 degrees.", 3, [[Questo non è uno degli angoli per cui la maggior parte degli studenti memorizzerà i valori delle funzioni di trigger. Ma se lasci 15 gradi uguali a θ /2 e poi risolvi per for, scoprirai che:
θ /2 \u003d 15
θ \u003d 30
Poiché la risultante θ, 30 gradi, è un angolo più familiare, sarà utile utilizzare la formula del mezzo angolo qui.
Perché hai è stato chiesto di trovare il seno, c'è davvero solo una formula a mezzo angolo tra cui scegliere:
sin (θ /2) \u003d ± √ [(1 - cosθ) /2]
Sostituzione in θ /2 \u003d 15 gradi e θ \u003d 30 gradi ti dà:
sin (15) \u003d ± √ [(1 - cos (30)) /2]
Se avessi ti è stato chiesto di trovare la tangente o cotangente, entrambe le quali moltiplicano per metà i modi di esprimere la loro identità a metà angolo, sceglieresti semplicemente la versione che sembrava più facile da lavorare.
Il segno ± all'inizio di alcune identità di mezzo angolo indica che la radice in questione potrebbe essere positiva o negativa. Puoi risolvere questa ambiguità usando la tua conoscenza delle funzioni trigonometriche nei quadranti. Ecco un breve riepilogo di quali funzioni del trigono restituiscono valori positivi Perché in questo caso il tuo angolo θ rappresenta 30 gradi, che cade nel quadrante I, sai che il valore sinusoidale che restituisce sarà positivo. Quindi puoi rilasciare il segno ± e valutare semplicemente: sin (15) \u003d √ [(1 - cos (30)) /2] Sostituisci il valore noto e familiare di cos (30). In questo caso, utilizzare i valori esatti (in contrapposizione alle approssimazioni decimali di un grafico): sin (15) \u003d √ [(1 - √3 /2) /2] Quindi, semplifica la parte destra della tua equazione per trovare un valore per sin (15). Inizia moltiplicando l'espressione sotto il radicale per 2/2, che ti dà: sin (15) \u003d √ [2 (1 - √3 /2) /4] Questo semplifica a: sin (15) \u003d √ [(2 - √3) /4] Puoi quindi fattorizzare la radice quadrata di 4: sin (15 ) \u003d (1/2) √ (2 - √3) Nella maggior parte dei casi, ciò riguarda la semplificazione. Anche se il risultato potrebbe non essere terribilmente carino, hai tradotto il seno di un angolo sconosciuto in una quantità esatta.
in cui quadranti:
