Una distribuzione binomiale descrive una variabile X se 1) vi è un numero fisso di osservazioni n della variabile; 2) tutte le osservazioni sono indipendenti l'una dall'altra; 3) la probabilità di successo p è la stessa per ogni osservazione; e 4) ogni osservazione rappresenta uno dei due possibili esiti possibili (da cui la parola "binomiale" - pensa "binaria"). Quest'ultima qualifica distingue le distribuzioni binomiali dalle distribuzioni di Poisson, che variano continuamente piuttosto che discretamente.

Tale distribuzione può essere scritta B (n, p).

Calcolare la probabilità di una determinata osservazione

Dire che un valore k si trova da qualche parte lungo il grafico della distribuzione binomiale, che è simmetrico rispetto alla media np. Per calcolare la probabilità che un'osservazione abbia questo valore, questa equazione deve essere risolta:

P (X = k) = (n: k) p ^{k (1-p) ( nk)}

dove (n: k) = (n!) ÷ (k!) (n - k)!

Il "!" significa una funzione fattoriale, ad es. 27! = 27 x 26 x 25 x ... x 3 x 2 x 1.

Esempio

Diciamo che un giocatore di pallacanestro prende 24 tiri liberi e ha un tasso di successo stabilito del 75 percento (p = 0,75). Quali sono le probabilità che colpirà esattamente 20 dei suoi 24 colpi?

Calcola prima (n: k) come segue:

(n!) ÷ (k!) (N - k) ! = 24! ÷ (20!) (4!) = 10,626

p ^{k = (0,75) 20 = 0,00317}

(1-p) ^{(nk) = (0.25) 4 = 0.00390}

Quindi P (20) = (10.626) (0.00317) (0.00390) = 0.1314.

Questo giocatore ha quindi una probabilità del 13.1% di fare esattamente 20 su 24 tiri liberi, in linea con quello che l'intuizione potrebbe suggerire su un giocatore che di solito colpisce 18 su 24 tiri liberi (a causa del suo tasso di successo stabilito del 75%).