È possibile rappresentare qualsiasi linea che è possibile rappresentare graficamente su un asse x-y bidimensionale mediante un'equazione lineare. Una delle espressioni algebriche più semplici, un'equazione lineare è quella che mette in relazione il primo potere di x con il primo potere di y. Un'equazione lineare può assumere una delle tre forme: la forma del punto di inclinazione, la forma di intercettazione del pendio e la forma standard. È possibile scrivere il modulo standard in uno dei due modi equivalenti. Il primo è:

Ax + By + C = 0

dove A, B e C sono costanti. Il secondo modo è:

Ax + By = C

Si noti che queste sono espressioni generalizzate e le costanti nella seconda espressione non sono necessariamente uguali a quelle del primo. Se vuoi convertire la prima espressione al secondo per valori particolari di A, B e C, dovresti scrivere Ax + By = -C.

Derivare il modulo standard per un'equazione lineare

Un'equazione lineare definisce una linea sull'asse xy. Scegliendo due punti qualsiasi sulla linea, (x _{1, y 1) e (x 2, y 2), è possibile calcolare la pendenza della linea (m). Per definizione, è la "salita sopra la corsa" o la variazione della coordinata y divisa per la variazione della coordinata x.}

m = Δy /Δx = (y _{2 - y 1) /x 2 - x 1)}

Ora lascia (x _{1, y 1) essere un punto particolare (a, b ) e sia (x 2, y 2) essere indefinito, cioè essere tutti i valori di x e y. L'espressione per la pendenza diventa}

m = (y - b) /(x - a), che si semplifica in

m (x - a) = y - b

Questa è la forma del punto di inclinazione della linea. Se invece di (a, b) si sceglie il punto (0, b), questa equazione diventa mx = y - b. Riorganizzare per mettere da solo sul lato sinistro ti dà la forma di intercettazione della retta della linea:

y = mx + b

La pendenza è di solito un numero frazionario, quindi sia uguale a (-A) /B). È quindi possibile convertire questa espressione nel formato standard per una riga spostando il termine x e la costante sul lato sinistro e semplificando:

Ax + By = C, dove C = Bb o

Ax + By + C = 0, dove C = -Bb

Esempio 1

Converti in formato standard: y = 3 /4x + 2

Moltiplica entrambi i lati di 4

4y = 3x + 2

Sottrai 3x da entrambi i lati

4y - 3x = 2

Moltiplica per -1 per ottenere il positivo x-Term

3x - 4y = 2

Questa equazione è in forma standard. A = 3, B = -2 e C = 2

Esempio 2

Trova l'equazione standard della forma della linea che passa attraverso i punti (-3, -2) e (1, 4).

Trova la pendenza

m = (y _{2 - y 1) /x 2 - x 1) = [1 - (-3)] /[4 - 2] = 4/2}

m = 2

Trova il modulo del punto di pendenza utilizzando il pendio e uno dei punti

Il generico la forma del punto di inclinazione è m (x - a) = y - b. Se usi il punto (1, 4), questo diventa

2 (x - 1) = y - 4

Semplifica

2x - 2 - y + 4 = 0

2x - y + 2 = 0

Questa equazione è in forma standard Ax + By + C = 0 dove A = 2, B = -1 e C = 2