Una funzione periodica è una funzione che ripete i suoi valori su intervalli regolari o "periodi". Pensa a un battito del cuore o al ritmo sottostante in una canzone: ripete la stessa attività su una costante battere. Il grafico di una funzione periodica sembra che un singolo pattern venga ripetuto più e più volte.

TL; DR (Troppo lungo, non letto)

Una funzione periodica ripete i suoi valori su intervalli regolari o "periodi".

Tipi di funzioni periodiche

Le funzioni periodiche più famose sono le funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante, ecc. Altri esempi di periodici le funzioni in natura includono le onde luminose, le onde sonore e le fasi lunari. Ognuna di queste, se rappresentata graficamente sul piano delle coordinate, crea uno schema ripetuto sullo stesso intervallo, facilitando la previsione.

Il periodo di una funzione periodica è l'intervallo tra due punti "corrispondenti" sul grafico . In altre parole, è la distanza lungo l'asse x che la funzione deve percorrere prima che inizi a ripetere il suo schema. Le funzioni seno e coseno di base hanno un periodo di 2π, mentre la tangente ha un periodo di π.

Un altro modo per capire il periodo e la ripetizione per le funzioni trigonometriche è di pensarle in termini del cerchio unitario. Nel cerchio unitario, i valori si aggirano intorno al cerchio quando aumentano di dimensioni. Quel moto ripetitivo è la stessa idea che si riflette nel modello costante di una funzione periodica. E per seno e coseno, devi fare un percorso completo attorno al cerchio (2π) prima che i valori inizino a ripetere.

Equazione per una funzione periodica

È anche possibile definire una funzione periodica come equazione con questo modulo:

f (x + nP) = f (x)

Dove P è il punto (una costante diversa da zero) en è un numero intero positivo.

Ad esempio, puoi scrivere la funzione seno in questo modo:

sin (x + 2π) = sin (x)

n = 1 in questo caso, e il periodo, P, per una funzione seno è 2π.

Provalo provando un paio di valori per x, o guarda il grafico: seleziona qualsiasi valore x, quindi sposta 2π in entrambe le direzioni lungo l'asse x ; il valore y dovrebbe rimanere lo stesso.

Ora provalo quando n = 2:

sin (x + 2 (2π)) = sin (x)

sin (x + 4π) = sin (x).

Calcola per diversi valori di x: x = 0, x = π, x = π /2, o controlla sul grafico.

La funzione cotangente segue le stesse regole, ma il suo periodo è π radianti invece di 2π radianti, quindi il suo grafico e la sua equazione sono simili a questo:

cot (x + nπ) = cot (x)

Si noti che le funzioni tangente e cotangente sono periodiche, ma non sono continue: ci sono "interruzioni" nei loro grafici.