Ecco come appare l'equazione derivata per Fermi Energy:
per un gas elettronico libero:
* e f =(ħ²/2m) (3π²n)^(2/3)
Dove:
* ħ è la costante di Planck ridotta (H/2π)
* m è la massa di un elettrone
* n è la densità elettronica (numero di elettroni per unità di volume)
Derivazione:
1. Distribuzione Fermi-Dirac: La probabilità di trovare un elettrone con energia E alla temperatura T è data dalla funzione di distribuzione di Fermi-Dirac:
* f (e) =1 / (exp ((e - e
* k b è la costante di Boltzmann
2. Limite di temperatura zero: Ad Absolute Zero (T =0), la distribuzione Fermi-Dirac diventa una funzione di passaggio:
* f (e) =1 per e
* f (e) =0 per e> e f
3. Densità elettronica: La densità elettronica è correlata all'energia Fermi integrando la distribuzione di Fermi-Dirac su tutti gli stati energetici:
* n =∫ g (e) f (e) de
* G (e) è la densità degli stati, che descrive il numero di stati di energia disponibili per unità di intervallo di energia.
4. Densità degli stati: Per un gas elettronico libero, la densità degli Stati è:
* g (e) =(v/2π²) (2m/ħ²)^(3/2) e^(1/2)
* V è il volume del sistema.
5. Integrazione e semplificazione: Sostituendo le espressioni per f (e) e g (e) nell'equazione e nell'integrazione della densità elettronica, arriviamo all'equazione di energia di Fermi:
* e f =(ħ²/2m) (3π²n)^(2/3)
Punti importanti:
* L'energia Fermi è un parametro cruciale per comprendere le proprietà elettroniche di metalli e semiconduttori.
* Determina il livello di energia occupato più alto a zero assoluto.
* A temperature finite, la distribuzione di Fermi-Dirac descrive la probabilità di trovare elettroni a diversi livelli di energia e un piccolo numero di elettroni può occupare livelli di energia al di sopra del livello di Fermi.
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