Soluzione: L'equazione di Schrödinger per questo sistema è:$$-\frac{\hbar^2}{2m}\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{ \partial y^2} \right )\psi(x,y)+\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2)\psi(x,y)=E\psi (x,y)$$
Possiamo separare le variabili e assumere che la funzione d'onda possa essere scritta come prodotto di due funzioni, $\psi(x,y)=X(x)Y(y)$. Sostituendo questo nell'equazione di Schrödinger e dividendo per $ XY$, otteniamo:
$$-\frac{1}{2m}\frac{X''}{X}=\frac{1}{2m}\frac{Y''}{Y}+\frac{1}{2}m \omega^2(x^2+y^2)=E$$
Il lato sinistro di questa equazione dipende solo da x, mentre il lato destro dipende solo da y. Pertanto, entrambi i membri devono essere uguali a una costante, che possiamo denotare con $E_n$,
$$-\frac{1}{2m}\frac{X''}{X}=E_n , \frac{1}{2m}\frac{Y''}{Y}=E-E_n.$$
Questi sono due problemi di oscillatore armonico unidimensionale indipendenti e le loro soluzioni sono ben note. Gli autovalori energetici per il movimento nella direzione x sono:
$$E_n=\hbar\omega\sinistra(n+\frac{1}{2}\destra), n=0,1,2,...$$
Allo stesso modo, gli autovalori energetici per il movimento nella direzione y sono dati dalla stessa formula. Pertanto, gli autovalori dell’energia totale per il sistema bidimensionale sono:
$$E_{n_x,n_y}=\hbar\omega\sinistra(n_x+n_y+1\destra), n_x,n_y=0,1,2,...$$
Le corrispondenti autofunzioni sono prodotti delle funzioni d'onda dell'oscillatore armonico unidimensionale:
$$\psi_{n_x,n_y}(x,y)=\phi_{n_x}(x)\phi_{n_y}(y),$$
Dove
$$\phi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}H_n \ sinistra(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \right) e^{-m\omega x^2/2\hbar},$$
e $H_n$ sono i polinomi di Hermite.
