Le equazioni del moto di Lagrange sono un insieme di equazioni differenziali del secondo ordine che descrivono il moto di un sistema di particelle. Derivano dal principio di minima azione, secondo il quale il percorso effettivo compiuto da un sistema tra due punti è quello che minimizza l'integrale d'azione.

L'integrale di azione è definito come l'integrale della Lagrangiana nel tempo:

$$S =\int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q_i}, t) dt$$

dove $q_i$ sono le coordinate generalizzate del sistema, $\dot{q_i}$ sono le loro derivate temporali e $L$ è la lagrangiana. La Lagrangiana è una funzione delle coordinate generalizzate, delle loro derivate temporali e del tempo.

Il principio di minima azione afferma che il percorso effettivo compiuto da un sistema tra due punti è quello che minimizza l’integrale d’azione. Ciò può essere espresso matematicamente come:

$$\delta S =0$$

dove $\delta S$ è la variazione dell'integrale di azione.

Le equazioni del moto di Lagrange possono essere derivate dal principio di minima azione utilizzando il calcolo delle variazioni. Il calcolo delle variazioni è una branca della matematica che si occupa di trovare funzioni che minimizzino o massimizzino un funzionale.

Per trovare le funzioni che minimizzano l'integrale di azione, dobbiamo trovare le variazioni dell'integrale di azione e porle uguali a zero. Le variazioni dell’integrale di azione sono date da:

$$\delta S =\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \delta \dot{q_i} + \frac{\partial L}{\partial t} \delta t\right) dt$$

dove $\delta q_i$, $\delta \dot{q_i}$ e $\delta t$ sono le variazioni delle coordinate generalizzate, delle loro derivate temporali e del tempo.

Ponendo uguali a zero le variazioni dell’integrale di azione si ottiene:

$$\frac{\partial L}{\partial q_i} =\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)$$

Queste sono le equazioni del moto di Lagrange. Sono un insieme di equazioni differenziali del secondo ordine che descrivono il movimento di un sistema di particelle.

Esempio:

Consideriamo una particella di massa $m$ che si muove in un potenziale unidimensionale $V(x)$. La lagrangiana di questo sistema è:

$$L =\frac{1}{2} m \punto{x}^2 - V(x)$$

La coordinata generalizzata per questo sistema è $x$ e la sua derivata temporale è $\dot{x}$. La Lagrangiana è una funzione di $x$, $\dot{x}$ e $t$.

L'equazione del moto di Lagrange per questo sistema è:

$$\frac{\partial L}{\partial x} =\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)$$

Sostituendo la Lagrangiana in questa equazione, otteniamo:

$$- \frac{\partial V}{\partial x} =m \frac{d^2 x}{dt^2}$$

Questa è la seconda legge del moto di Newton per una particella di massa $m$ che si muove in un potenziale unidimensionale $V(x)$.