Comprensione dei concetti
* Motion armonico semplice: Un tipo di movimento periodico in cui la forza di ripristino è proporzionale allo spostamento dall'equilibrio. Gli esempi includono una massa su una molla o un pendolo che oscilla con un piccolo angolo.
* ampiezza (a): Lo spostamento massimo dell'oggetto dalla sua posizione di equilibrio.
* Velocity (V): Il tasso di variazione dello spostamento.
* Conservazione energetica: In SHM, l'energia meccanica totale (potenziale + cinetica) rimane costante.
Derivazione
1. Conservazione energetica: In qualsiasi momento di SHM, l'energia totale (E) è la somma dell'energia potenziale (PE) e dell'energia cinetica (KE):
E =pe + ke
2. Energia potenziale: Al massimo spostamento (ampiezza, a), la velocità è zero e tutta l'energia è potenziale:
Pe (max) =1/2 * k * a^2 (dove k è la costante di primavera)
3. Energia cinetica: A mezza ampiezza (A/2), l'energia potenziale è:
Pe (a/2) =1/2 * k * (a/2)^2 =1/8 * k * a^2
4. Usando il risparmio energetico: Poiché l'energia totale è costante:
E =pe (max) =pe (a/2) + ke (a/2)
1/2 * k * a^2 =1/8 * k * a^2 + 1/2 * m * v^2 (dove m è la massa)
5. Risoluzione per velocità: Semplifica l'equazione e risolvi per V:
* 3/8 * k * a^2 =1/2 * m * v^2
* v^2 =(3/4) * (k/m) * a^2
* v =√ [(3/4) * (k/m) * a^2]
Note importanti:
* Frequenza angolare (ω): È possibile esprimere la velocità in termini di frequenza angolare (ω =√ (k/m)):
* v =√ [(3/4) * ω^2 * a^2] =(√3/2) * ω * a
* Fase: La formula sopra presuppone che la massa sia al suo spostamento massimo quando il tempo t =0. Se la massa è in una fase diversa, dovrai considerare la natura sinusoidale del movimento.
Esempio
Diciamo che una massa di 0,5 kg è attaccata a una molla con una costante di molla di 20 n/m. L'ampiezza dell'oscillazione è 0,1 m. Per trovare la velocità a mezza ampiezza:
1. Calcola la frequenza angolare: ω =√ (k/m) =√ (20 n/m/0,5 kg) ≈ 6,32 rad/s
2. Calcola la velocità: v =(√3/2) * ω * a =(√3/2) * 6,32 rad/s * 0,1 m ≈ 0,55 m/s
Pertanto, la velocità della massa a mezza ampiezza è di circa 0,55 m/s.
