Ecco una rottura:
1. Meccanici lagrangiani
Lagrangian Mechanics è un quadro potente per descrivere il movimento dei sistemi. Utilizza una funzione chiamata lagrangian , che è una funzione delle coordinate generalizzate del sistema (posizioni) e delle velocità generalizzate (derivati del tempo delle posizioni). Il lagrangiano è definito come la differenza tra le energie cinetiche e potenziali del sistema:
L =t - v
2. Equazioni euler-lagrange
Le equazioni del movimento per un sistema sono derivate usando le equazioni euler-lagrange :
d/dt (∂l/∂q̇) - ∂l/∂q =0
Dove:
* Q è una coordinata generalizzata
* Q̇ è il suo derivato del tempo (velocità generalizzata)
* ∂/∂q rappresenta una differenziazione parziale rispetto a Q
* ∂/∂q̇ rappresenta una differenziazione parziale rispetto a Q̇
3. Cancellazione del punto
In alcune situazioni, il lagrangiano può essere scritto in una forma che consente una semplificazione. Ad esempio, se il lagrangiano dipende solo dalle velocità generalizzate quadrate (Q̇) e non direttamente dalle velocità stesse (Q̇), le equazioni di Euler-Lagrange semplificano.
Questa semplificazione si verifica perché il derivato rispetto a Q̇ (∂l/∂q̇) coinvolgerà un fattore di 2q, che annulla il Qè nel derivato del tempo (d/dt). Questo lascia solo termini che coinvolgono la seconda derivata di Q (Q̈), che è l'accelerazione.
Esempio:
Prendi in considerazione un semplice oscillatore armonico con energia potenziale V =(1/2) kx² e energia cinetica T =(1/2) MQ̇². Il lagrangiano è:
L =t - v =(1/2) mq² - (1/2) kx²
Applicazione dell'equazione di Euler-Lagrange:
d/dt (∂l/∂q̇) - ∂l/∂q =0
d/dt (mq̇) + kx =0
mq̈ + kx =0
Questa è l'equazione familiare del movimento per un semplice oscillatore armonico. Notare come il punto (Q̇) cancella durante la derivazione.
In sintesi:
* La "cancellazione del punto" si riferisce a una semplificazione che si verifica nei meccanici lagrangiani quando il lagrangiano dipende solo dalle quadrati di velocità generalizzate.
* Questa semplificazione porta a equazioni più semplici del movimento e può essere particolarmente utile per i sistemi con semplici espressioni di energia cinetica.
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