Quando ti viene presentata una matrice in una classe di matematica o fisica, ti verrà spesso chiesto di trovare i suoi autovalori. Se non sei sicuro di cosa significhi o di come farlo, il compito è scoraggiante e comporta un sacco di terminologie confuse che rendono le cose ancora peggiori. Tuttavia, il processo di calcolo degli autovalori non è troppo impegnativo se sei a tuo agio nel risolvere equazioni quadratiche (o polinomiali), a patto di apprendere le basi delle matrici, degli autovalori e degli autovettori.

Matrici, autovalori ed autovettori: Cosa significano

Le matrici sono matrici di numeri in cui A rappresenta il nome di una matrice generica, come questa:

(
1 3 )

A
= (4 2)

I numeri in ogni posizione variano e potrebbero esserci anche espressioni algebriche al loro posto. Questa è una matrice 2 × 2, ma sono disponibili in una varietà di dimensioni e non sempre hanno un numero uguale di righe e colonne.

Gestire le matrici è diverso dal trattare con i numeri ordinari, e ci sono specifiche regole per moltiplicare, dividere, aggiungere e sottrarre gli uni dagli altri. I termini "autovalore" e "autovettore" sono usati nell'algebra della matrice per riferirsi a due quantità caratteristiche rispetto alla matrice. Questo problema agli autovalori ti aiuta a capire che cosa significa il termine:

A
∙ v = λ ∙ v

A è una matrice generale come prima, v è un vettore, e λ è un valore caratteristico. Osserva l'equazione e nota che moltiplicando la matrice per il vettore v, l'effetto è riprodurre lo stesso vettore moltiplicato per il valore λ. Questo è un comportamento insolito e guadagna i nomi speciali vettoriali v e quantità λ: l'autovettore e autovalore. Questi sono valori caratteristici della matrice perché moltiplicando la matrice per l'autovettore si lascia il vettore invariato rispetto alla moltiplicazione per un fattore dell'autovalore.

Come calcolare gli autovalori

Se si ha il problema degli autovalori per la matrice in qualche modo, trovare l'autovalore è facile (perché il risultato sarà un vettore uguale a quello originale eccetto che moltiplicato per un fattore costante - l'autovalore). La risposta viene trovata risolvendo l'equazione caratteristica della matrice:

det (A - λ I
) = 0

Dove sono la matrice di identità, che è vuota a parte una serie di 1 che scorre diagonalmente lungo la matrice. "Det" si riferisce al determinante della matrice, che per una matrice generale:

(ab)

A
= (cd)

Is dato da

det A = ad -bc

Quindi l'equazione caratteristica significa:

(a - λ b)

det (A - λ < b> I
) = (cd - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Come matrice di esempio, definiamo A come:

(0 1)

A
= (-2 -3)

Questo significa:

det (A - λ I
) = (0 - λ) (- 3 - λ) - (1 × -2) = 0

= -λ (-3 - λ) + 2

= λ < sup> 2 + 3 λ + 2 = 0

Le soluzioni per λ sono gli autovalori e tu risolvi questo come qualsiasi equazione quadratica. Le soluzioni sono λ = - 1 e λ = - 2.

TL; DR (Troppo lungo, non letto)

In casi semplici, gli autovalori sono più facili da trovare. Ad esempio, se gli elementi della matrice sono tutti nulli a parte una riga sulla diagonale anteriore (da in alto a sinistra a in basso a destra), gli elementi diagonali risultano essere gli autovalori. Tuttavia, il metodo sopra funziona sempre.

Trovare autovettori

Trovare gli autovettori è un processo simile. Usando l'equazione:

(A - λ) ∙ v = 0

con ciascuno degli autovalori che hai trovato a turno. Questo significa:

(a - λ b) (v _{1) (a - λ) v 1 + bv 2 (0)}

(A - λ) ∙ v = (cd - λ) ∙ (v _{2) = cv 1 + (d - λ) v 2 = (0)}

Puoi risolvere questo problema con considerando ogni riga a turno. Hai solo bisogno del rapporto v
_{1 per v
2, perché ci saranno infiniti potenziali soluzioni per v
1 e v
2.}