Mentre le parole inglesi "sequenza" e "serie" hanno significati simili, in matematica sono concetti completamente diversi. Una sequenza è un elenco di numeri inseriti in un ordine definito mentre una serie è la somma di un tale elenco di numeri. Esistono molti tipi di sequenze, incluse quelle basate su infiniti elenchi di numeri. Sequenze diverse e le serie corrispondenti hanno proprietà diverse e possono dare risultati sorprendenti.

TL; DR (Troppo lungo, non letto)

Le sequenze sono elenchi di numeri inseriti in un ordine definito secondo alle regole date. La serie corrispondente a una sequenza è la somma dei numeri in quella sequenza. Le serie possono essere aritmetiche, ovvero c'è una differenza fissa tra i numeri della serie, o geometrica, il che significa che esiste un fattore fisso. Le serie infinite non hanno un numero finale ma possono ancora avere una somma fissa in determinate condizioni.

Tipi di sequenze e serie

Le sequenze comuni sono aritmetiche o geometriche. In una sequenza aritmetica, ogni numero o termine della sequenza differisce dal termine precedente della stessa quantità. Ad esempio, se una differenza di sequenza aritmetica è 2, una sequenza aritmetica corrispondente potrebbe essere 1, 3, 5 .... Se la differenza è -3, una sequenza potrebbe essere 4, 1, -2 .... La sequenza aritmetica è definito dal numero iniziale e dalla differenza.

Per le sequenze geometriche, i termini differiscono di un fattore. Ad esempio, una sequenza con un fattore 2 potrebbe essere 2, 4, 8 ... e una sequenza con un fattore di 0,75 potrebbe essere 32, 24, 18 .... La sequenza geometrica è definita dal numero iniziale e dal factor.

I tipi di serie dipendono dalla sequenza che viene aggiunta. Una serie aritmetica aggiunge i termini di una sequenza aritmetica e una serie geometrica aggiunge una sequenza geometrica.

Sequenze e serie finite e infinite

Le sequenze e le serie corrispondenti possono essere basate su un numero fisso di termini o un numero infinito. Una sequenza finita ha un numero iniziale, una differenza o un fattore e un numero totale fisso di termini. Per esempio, la prima sequenza aritmetica sopra con otto termini sarebbe 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. La prima sequenza geometrica sopra con sei termini sarebbe 2, 4, 8, 16, 32, 64 La serie aritmetica corrispondente avrebbe un valore di 64 e la serie geometrica 126. Le sequenze infinite non hanno un numero fisso di termini, ei loro termini possono crescere all'infinito, diminuire a zero o avvicinarsi a un valore fisso. Le serie corrispondenti possono anche avere un risultato infinito, zero o fisso.

Serie Convergenti e Divergenti

Le serie infinite sono divergenti se la somma si avvicina all'infinito all'aumentare del numero di termini. Una serie infinita è convergente se la sua somma si avvicina ad un valore non infinito come zero o un altro numero fisso. Le serie sono convergenti se i termini della sequenza sottostante si avvicinano rapidamente a zero.

La serie che aggiunge i termini della sequenza infinita 1, 2, 4 ... è divergente perché i termini della sequenza continuano a crescere, consentendo al somma per raggiungere un valore infinito all'aumentare del numero di termini. La serie 1, 0.5, 0.25 ... è convergente perché i termini diventano rapidamente molto piccoli.

Mentre le sequenze sono ordinate, gli elenchi di numeri e serie sono somme, entrambi possono essere strumenti importanti nella valutazione di insiemi di numeri, e le proprietà di convergenza o divergenza possono avere implicazioni nella vita reale. Una serie divergente spesso rappresenta una condizione instabile mentre una serie convergente spesso indica che un processo o una struttura saranno stabili.