In matematica, una funzione è una regola che mette in relazione ogni elemento di un insieme, chiamato dominio, esattamente a un elemento di un altro insieme, chiamato intervallo. Su un asse x-y, il dominio è rappresentato sull'asse x (asse orizzontale) e il dominio sull'asse y (asse verticale). Una regola che collega un elemento del dominio a più di un elemento nell'intervallo non è una funzione. Questo requisito significa che, se si gra fi ca una funzione, non è possibile trovare una linea verticale che attraversa il grafico in più di un punto.

TL; DR (Troppo lungo, non letto)

Una relazione è una funzione solo se mette in relazione ciascun elemento nel suo dominio con un solo elemento dell'intervallo. Quando grafici una funzione, una linea verticale la intersecherà in un solo punto.

Rappresentazione matematica

I matematici di solito rappresentano le funzioni con le lettere "f (x)", sebbene qualsiasi altra lettera funzioni altrettanto bene. Leggi le lettere come "f di x". Se scegli di rappresentare la funzione come g (y), la leggeresti come "g di y". L'equazione per la funzione definisce la regola in base alla quale il valore di input x viene trasformato in un altro numero. Ci sono un numero infinito di modi per farlo. Ecco tre esempi:

f (x) = 2x

g (y) = y ^{2 + 2y + 1}

p (m) = 1 /√ (m - 3)

Determinazione del dominio

L'insieme di numeri per cui la funzione "funziona" è il dominio. Questo può essere tutti i numeri o può essere un insieme specifico di numeri. Il dominio può anche essere tutti i numeri tranne uno o due per i quali la funzione non funziona. Ad esempio, il dominio per la funzione f (x) = 1 /(2-x) è tutti i numeri tranne 2, perché quando si inserisce due, il denominatore è 0 e il risultato non è definito. Il dominio per 1 /(4 - x ^{2), d'altra parte, è tutti i numeri tranne +2 e -2 perché il quadrato di entrambi questi numeri è 4.}

Puoi anche identificare il dominio di una funzione osservando il suo grafico. Partendo dall'estrema sinistra e spostandosi verso destra, tracciare linee verticali attraverso l'asse x. Il dominio è tutti i valori di x per i quali la linea interseca il grafico.

Quando una relazione non è una funzione?

Per definizione, una funzione collega ogni elemento del dominio a una sola elemento nella gamma. Ciò significa che ogni linea verticale tracciata attraverso l'asse x può intersecare la funzione in un solo punto. Questo funziona per tutte le equazioni lineari e le equazioni di potenza più elevata in cui solo il termine x è elevato a un esponente. Non sempre funziona per le equazioni in cui entrambi i termini xey vengono aumentati in potenza. Ad esempio, x ^{2 + y 2 = a 2 definisce un cerchio. Una linea verticale può intersecare un cerchio a più di un punto, quindi questa equazione non è una funzione.}

In generale, una relazione f (x) = y è una funzione solo se, per ogni valore di x che ci si collega, si ottiene solo un valore per y. A volte l'unico modo per stabilire se una data relazione è o meno una funzione è provare vari valori per x per vedere se producono valori univoci per y.

Esempi: le seguenti equazioni definiscono le funzioni?

y = 2x +1 Questa è l'equazione di una retta con pendenza 2 e y-intercetta 1, quindi è una funzione.

y2 = x + 1 Sia x = 3. Il valore per y può quindi essere ± 2, quindi questa NON è una funzione.

y ^{3 = x 2 Indipendentemente dal valore impostato per x, otterremo un solo valore per y, quindi questa è una funzione.}

y ^{2 = x 2 Poiché y = ± √x 2, questa NON È una funzione.}