Comprendere le relazioni tra due variabili è l'obiettivo della maggior parte della scienza. Se hai in mente una specifica domanda scientifica come: Cosa succede alla temperatura globale se aumenta la quantità di anidride carbonica nell'atmosfera o come varia la forza di gravità quando ti allontani dalla fonte o sei più interessato a un'impostazione matematica astratta, scoprire la differenza tra relazioni dirette e inverse è essenziale se si desidera descrivere queste relazioni. In breve, le relazioni dirette aumentano o diminuiscono insieme, ma le relazioni inverse si muovono in direzioni opposte.

TL; DR (troppo lungo; non letto)

In una relazione diretta, un aumento di una quantità porta ad una corrispondente diminuzione nell'altra. Questo ha la formula matematica di y
\u003d kx
, dove k
è una costante. Per un cerchio, circonferenza \u003d pi × diametro, che è una relazione diretta con pi come costante. Un diametro maggiore significa una circonferenza maggiore.

In una relazione inversa, un aumento di una quantità porta ad una corrispondente diminuzione nell'altra. Matematicamente, questo è espresso come y
\u003d k
/ x
. Per un viaggio, tempo di viaggio \u003d distanza ÷ velocità, che è una relazione inversa con la distanza percorsa come costante. Un viaggio più veloce significa un tempo di percorrenza più breve.
Sfondo: come varia y con x?

Scienziati e matematici che si occupano di relazioni dirette e inverse rispondono alla domanda generale, in che modo y
variare con x
? Qui, x
e y
rappresentano due variabili che potrebbero essere praticamente qualsiasi cosa. Ad esempio, in che modo l'altezza che una palla rimbalza ( y
) dipende da quanto è caduta da ( x
)? Per convenzione, x
è la variabile indipendente e y
è la variabile dipendente. Quindi il valore di y
dipende dal valore di x
, non viceversa, e il matematico ha un certo controllo su x
(ad esempio, può scegli l'altezza da cui far cadere la palla). Quando esiste una relazione diretta o inversa, x
e y
sono in qualche modo proporzionali tra loro.
Relazioni dirette

Una relazione diretta è proporzionale in la sensazione che quando una variabile aumenta, aumenta anche l'altra. Usando l'esempio dell'ultima sezione, maggiore è il livello da cui si rilascia una palla, maggiore è il suo rimbalzo. Un cerchio con un diametro maggiore avrà una circonferenza più grande. Se aumenti la variabile indipendente ( x
, come il diametro del cerchio o l'altezza della caduta della palla), aumenta anche la variabile dipendente e viceversa.

Una relazione diretta è lineare. La circonferenza di un cerchio è C
\u003d π_ D_
, dove C
significa circonferenza e D
significa diametro. Pi è sempre lo stesso, quindi se raddoppi il valore di D
, anche il valore di C
raddoppia. Se hai tracciato un grafico di questa relazione, equivarrebbe a una linea retta con circonferenza zero a D
\u003d 0, 3.14 a D
\u003d 1 e 31.4 a D
\u003d 10. Il gradiente del grafico indica il valore della costante.
Relazioni inverse

Le relazioni inverse funzionano in modo diverso. Se si aumenta x
, il valore di y
diminuisce. Ad esempio, se ti sposti più rapidamente verso la destinazione, il tempo di viaggio diminuirà. In questo esempio, x
è la tua velocità e y
è il tempo di percorrenza. Raddoppiare la velocità dimezza il tempo di viaggio e aumentando la velocità di dieci volte il tempo di viaggio è dieci volte più breve.

Matematicamente, questo tipo di relazione ha la forma: y
\u003d k
/ x
, dove k
è una costante (che ricopre lo stesso ruolo di pi nell'esempio di relazione diretta). Tuttavia, le relazioni inverse non sono rette. Quando inizi ad aumentare x
, y
diminuisce molto rapidamente, ma mentre continui ad aumentare x
il tasso di riduzione di y
diminuisce .

Ad esempio, se x
è la lunghezza di una coppia di lati di un rettangolo, y
è la lunghezza dell'altra coppia di lati e k
è l'area, la formula k
\u003d xy
è valida, quindi y
\u003d k
÷ x
. In questo caso, y
è inversamente correlato a x
. Per un'area k
\u003d 12, questo dà y
\u003d 12 ÷ x
. Per x
\u003d 3, questo mostra y
\u003d 4. Per x
\u003d 6, quindi y
\u003d 2. Per x
\u003d 12, quindi y
\u003d 1. All'inizio un aumento di 3 in x
diminuisce y
di 2, ma poi un aumento di 6 in < em> x
diminuisce solo y
di 1. Questo è il motivo per cui le relazioni inverse sono curve decrescenti che diventano meno profonde man mano che ci si sposta lungo di esse.

Nelle relazioni dirette, un aumento di x
porta ad un aumento di dimensioni corrispondenti di y
e una diminuzione ha l'effetto opposto. Questo crea un grafico a linee rette. Nelle relazioni inverse, l'aumento di x
comporta una corrispondente riduzione di y
e una riduzione di x
comporta un aumento di y
. Questo crea un grafico curvo in cui il declino all'inizio è rapido ma diventa più lento per valori più grandi di x
.