Se ti piacciono le stranezze matematiche, adorerai il triangolo di Pascal. Prende il nome dal matematico francese del XVII secolo Blaise Pascal, e conosciuto dai cinesi per molti secoli prima di Pascal come triangolo Yanghui, in realtà è più che una stranezza. È una disposizione specifica di numeri che è incredibilmente utile nell'algebra e nella teoria della probabilità. Alcune delle sue caratteristiche sono più perplessi e interessanti di quanto siano utili. Aiutano ad illustrare la misteriosa armonia del mondo come descritto dai numeri e dalla matematica.

TL; DR (Troppo lungo, non letto)

Pascal ha derivato il triangolo espandendo (x + y) ^ n per aumentare i valori di n e disporre i coefficienti dei termini in uno schema triangolare. Ha molte proprietà interessanti e utili.

Costruire il triangolo di Pascal

La regola per costruire il triangolo di Pascal non potrebbe essere più semplice. Inizia con il numero uno all'apice e forma la seconda fila sotto con un paio di quelli. Per costruire la terza e tutte le righe successive, inizia mettendone una all'inizio e alla fine. Ricava ogni cifra tra questa coppia aggiungendo le due cifre immediatamente sopra di essa. La terza riga è quindi 1, 2, 1, la quarta riga è 1, 3, 3, 1, la quinta riga è 1, 4, 6, 4, 1 e così via. Se ogni cifra occupa una casella delle stesse dimensioni di tutte le altre caselle, la disposizione forma un triangolo equilatero perfetto delimitato su due lati da uno e con una base uguale in lunghezza al numero della riga. Le file sono simmetriche in quanto leggono lo stesso avanti e indietro.

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 
 Applicazione del triangolo di Pascal in algebra 
 
 Pascal scoprì il triangolo, che era noto da secoli ai filosofi persiani e cinesi, mentre studiava l'espansione algebrica dell'espressione (x + y)  n. Quando espandi questa espressione all'ennesima potenza, i coefficienti dei termini nell'espansione corrispondono ai numeri nell'ennesima riga del triangolo. Ad esempio, (x + y)  0 = 1; (x + y)  1 = x + y; (x + y)  2 = x  2 + 2xy + y  2 e così via. Per questa ragione, i matematici chiamano a volte la disposizione del triangolo dei coefficienti binomiali. Per grandi numeri di n, è ovviamente più facile leggere i coefficienti di espansione dal triangolo di quanto non sia per calcolarli. 
 
 Triangolo di Pascal nella teoria della probabilità 
 
 Supponiamo di lanciare una moneta per un certo numero di volte. Quante combinazioni di testa e croce riesci a ottenere? Puoi scoprirlo guardando la riga nel triangolo di Pascal che corrisponde al numero di volte in cui lanci la moneta e aggiungi tutti i numeri in quella riga. Ad esempio, se lanci la moneta 3 volte, ci sono 1 + 3 + 3 + 1 = 8 possibilità. La probabilità di ottenere lo stesso risultato tre volte di seguito è quindi 1/8. 
 
 Allo stesso modo, puoi usare il triangolo di Pascal per trovare quanti modi puoi combinare oggetti o scelte da un dato insieme. Supponiamo di avere 5 palle e vuoi sapere in quanti modi puoi sceglierne due. Basta andare alla quinta riga e guardare la seconda voce per trovare la risposta, che è 5. 
 
 Pattern interessanti 
 
 Il triangolo di Pascal contiene una serie di pattern interessanti. Eccone alcuni: 
 
 
 La somma dei numeri in ogni riga è il doppio della somma dei numeri nella riga in alto. 
 
 
 
 Leggendo entrambi i lati, la prima fila è tutta, la seconda fila è il conteggio dei numeri, il terzo è il numero triangolare, il quarto i numeri tetraedrici e così via. 
 
 
 
 Ogni riga forma l'esponente corrispondente di 11 dopo aver eseguito una semplice modifica. 
 
 
 
 Puoi derivare la serie di Fibonacci dal modello triangolare. 
 
 
 
 Colorare tutti i numeri dispari e anche i numeri di colori diversi produce un motivo visivo noto come il triangolo di Sierpinski.