Prima di iniziare a semplificare o altrimenti a manipolare le espressioni razionali, prenditi un momento per esaminare quale sia l'espressione razionale in sé: una frazione con un polinomio sia nel numeratore che nel denominatore. O, per dirla in altro modo, un rapporto tra un polinomio e l'altro. Una volta identificata un'espressione razionale, il processo di semplificazione si riduce a tre passaggi.
I passaggi per semplificare le espressioni razionali

Il processo per la semplificazione delle funzioni razionali segue una tabella di marcia abbastanza semplice. La prima cosa che devi fare è combinare come termini, se non lo hai già fatto, per aiutarti a vedere chiaramente i polinomi.

Quindi, calcola ogni polinomio. A volte tutto ciò che devi fare è scrivere ogni termine. Ad esempio, è chiaro che 4x (che in realtà è un polinomio, anche se ha un solo termine) ha due fattori: 4 e x. Ma con polinomi più complicati, il tuo strumento migliore spesso riconosce i modelli per tipi specifici di polinomi che hai già imparato. Ad esempio, se hai prestato molta attenzione alle tue formule, potresti ricordare che un polinomio della forma a <sup>2 - b 2 fattori a (a + b) (a - b).
Scienziazione Video Vault
Crea la parentesi (quasi) perfetta: Ecco come

Crea la parentesi (quasi) perfetta: Ecco come</sup>

Una volta che i tuoi polinomi sono stati completamente calcolati, l'ultimo passaggio è la cancellazione di qualsiasi fattori comuni che compaiono sia nel numeratore che nel denominatore. Il risultato è il tuo polinomio semplificato.

TL; DR (Troppo lungo, non letto)

Che cosa succede se i polinomi nell'espressione razionale non sono di una forma che sai come fattore facilmente? Ci sono altre tecniche che puoi usare per calcolarli, come completare il quadrato o usare la formula quadratica.
A Warning About the Denominator

Potresti non essere sorpreso di sentire che c'è un piccolo problema qui. Di solito il dominio (o insieme di possibili valori x) per la tua espressione razionale si presume essere l'insieme di tutti i numeri reali. Ma se succede qualcosa che rende il denominatore della tua frazione zero, il risultato è una frazione indefinita.

Che cosa renderebbe il tuo denominatore zero? Di solito basta un piccolo esame per scoprirlo. Ad esempio, se il denominatore della tua frazione è stato ridotto ai fattori (x + 2) (x - 2), allora il valore x = -2 renderebbe il primo fattore uguale a zero e x = 2 renderebbe il secondo fattore uguale a zero.

Quindi entrambi i valori, -2 e 2, devono essere esclusi dal dominio della tua espressione razionale. Solitamente lo noterai con il segno "non uguale" o con ≠. Ad esempio, se devi escludere -2 e 2 dal dominio, devi scrivere x ≠ -2, 2.
Semplificare le espressioni razionali: esempi

Ora che hai compreso il processo di semplificazione razionale espressioni, è tempo di guardare un paio di esempi.

Esempio 1: semplificare l'espressione razionale (x ^{2 - 4) /(x 2+ 4x + 4)}

Non ci sono termini simili da combinare qui, quindi puoi saltare il primo passo. Successivamente, con i tuoi occhi acuti e un po 'di pratica, puoi notare che il numeratore e il denominatore sono facilmente rintracciabili:

(x + 2) (x - 2) /(x + 2) (x + 2 )

Forse vedrai che (x + 2) è un fattore sia del numeratore che del denominatore. Una volta annullato il fattore condiviso, ti rimane:

(x - 2) /(x + 2)

Hai semplificato la tua espressione razionale il più lontano possibile, ma c'è ancora una cosa da fare: identificare eventuali "zero" o radici che risulterebbero in una frazione indefinita, quindi è possibile escluderli dal dominio. In questo caso, è facile vedere dall'esame che quando x = -2, il fattore in basso sarà uguale a zero. Quindi la tua espressione razionale semplificata è in realtà:

(x - 2) /(x + 2), x ≠ -2

Esempio 2: Semplifica l'espressione razionale x /(x ^{2 - 4x)}

Non ci sono termini simili da combinare, quindi puoi andare direttamente al factoring tramite esame. Non è troppo difficile notare che puoi calcolare una x fuori dal termine inferiore, che ti dà:

x /x (x - 4)

Puoi cancellare il fattore x da entrambi numeratore e denominatore, che ti lascia con:

1 /(x - 4)

Ora la tua espressione razionale è semplificata, ma devi anche annotare eventuali valori x che risulterebbero in un indefinito frazione. In questo caso, x = 4 restituirebbe un valore pari a zero nel denominatore. Quindi la tua risposta è:

1 /(x - 4), x ≠ 4