Il modo migliore per fattorizzare i polinomi con le frazioni inizia con la riduzione delle frazioni a termini più semplici. I polinomi rappresentano espressioni algebriche con due o più termini, più specificamente, la somma di più termini che hanno espressioni diverse della stessa variabile. Le strategie che aiutano a semplificare i polinomi comprendono il factoring del più grande fattore comune, seguito dal raggruppamento dell'equazione nei termini più bassi. Lo stesso vale anche quando si risolvono i polinomi con le frazioni.
Polinomi con le frazioni definite

Sono disponibili tre modi per visualizzare la frase polinomi con le frazioni. La prima interpretazione si rivolge ai polinomi con frazioni per coefficienti. In algebra, il coefficiente è definito come la quantità numerica o la costante trovata prima di una variabile. In altre parole, i coefficienti per 7a, b e (1/3) c sono rispettivamente 7, 1 e (1/3). Due esempi, quindi, di polinomi con coefficienti di frazione sarebbero:

(1/4) x ^{2 + 6x + 20 e x 2 + (3/4) x + ( 1/8).}

La seconda interpretazione di "polinomi con frazioni" si riferisce a polinomi esistenti in forma di frazione o di rapporto con un numeratore e un denominatore, in cui il polinomio numeratore è diviso per il polinomio denominatore. Ad esempio, questa seconda interpretazione è illustrata da:

(x ^{2 + 7x + 10) ÷ (x 2 + 11x + 18)}

La terza interpretazione, nel frattempo , si riferisce alla decomposizione parziale della frazione, nota anche come espansione parziale della frazione. A volte le frazioni polinomiali sono complesse in modo tale che quando vengono "scomposte" o "scomposte" in termini più semplici, vengono presentate come somme, differenze, prodotti o quozienti di frazioni polinomiali. Per illustrare, la complessa frazione polinomiale di (8x + 7) ÷ (x ^{2 + x - 2) viene valutata mediante decomposizione parziale della frazione, che, tra l'altro, comporta il factoring dei polinomi, essere [3 /(x + 2 )] + [5 /(x-1)] nella forma più semplice.
Nozioni di base sul factoring - Proprietà distributiva e metodo FOIL}

I fattori rappresentano due numeri che moltiplicati insieme equivalgono a un terzo numero. Nelle equazioni algebriche, il factoring determina quali due quantità sono state moltiplicate insieme per arrivare a un dato polinomio. La proprietà distributiva è fortemente seguita quando si moltiplicano i polinomi. La proprietà distributiva essenzialmente consente di moltiplicare una somma moltiplicando ciascun numero singolarmente prima di aggiungere i prodotti. Osservare, ad esempio, come viene applicata la proprietà distributiva nell'esempio di:

7 (10x + 5) per arrivare al binomio di 70x + 35.

Ma, se due binomi sono moltiplicato insieme, viene quindi utilizzata una versione estesa della proprietà distributiva tramite il metodo FOIL. FOIL rappresenta l'acronimo di First, Outer, Inner e Last termini moltiplicati. Quindi, i polinomi di factoring comportano l'esecuzione del metodo FOIL al contrario. Prendi i due esempi sopra menzionati con i polinomi contenenti coefficienti di frazione. L'esecuzione del metodo FOIL all'indietro su ciascuno di essi comporta i fattori di:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) per il primo polinomio e i fattori di:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) per il secondo polinomio.

Esempio: (1/4) x ^{2 + 6x + 20 \u003d ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)}

Esempio: x ^{2 + (3/4) x + (1/8) \u003d (x + (1/4)) (x + (1/2))
Passaggi da eseguire durante il factoring delle frazioni polinomiali}

Dall'alto, le frazioni polinomiali comportano un polinomio nel numeratore diviso per un polinomio nel denominatore . La valutazione delle frazioni polinomiali richiede quindi il factoring prima del polinomio numeratore seguito dal factoring del polinomio denominatore. Aiuta a trovare il massimo fattore comune, o GCF, tra il numeratore e il denominatore. Una volta trovato il GCF sia del numeratore che del denominatore, questo si annulla, riducendo in definitiva l'intera equazione in termini semplificati. Considera l'esempio di frazione polinomiale originale sopra di

(x ^{2 + 7x + 10) ÷ (x 2+ 11x + 18).}

Fattorizzazione dei polinomi di numeratore e denominatore per trovare i risultati GCF in:

[(x + 2) (x + 5)] ÷ [(x + 2) (x + 9)], con GCF che è (x + 2).

Il GCF sia nel numeratore che nel denominatore si annullano a vicenda per fornire la risposta finale nei termini più bassi di (x + 5) ÷ (x + 9).

Esempio:

x ^{2 + 7x + 10 (x + 2)
(x + 5) (x + 5)}

_
_
\u003d
_
_
_ \u003d _
_

x ^{2+ 11x + 18 (x + 2)
(x + 9) (x + 9)
Valutazione delle equazioni tramite decomposizione della frazione parziale}

La decomposizione della frazione parziale, che comporta il factoring, è un modo di riscrivere il complesso equazioni della frazione polinomiale in forma più semplice. Rivisitazione dell'esempio dall'alto di

(8x + 7) ÷ (x ^{2 + x - 2).
Semplifica il denominatore}

Semplifica il denominatore per ottenere: (8x + 7) ÷ [(x + 2) (x - 1)].

8x + 7 8x + 7

_
_
< em> \u003d
_
_

x ^{2 + x - 2 (x + 2) (x - 1)
Riorganizza il Numeratore}

Quindi, riorganizza il numeratore in modo che inizi a disporre dei GCF presenti nel denominatore, per ottenere:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷ [(x + 2) (x - 1)], che viene ulteriormente espanso a {(3x - 3) ÷ [(x + 2) (x - 1)]} + {(5x + 10) ÷ [(x + 2) (x - 1 )]}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

_
_
_
_ \u003d _
_
_
\u003d _
_
____ +

( x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

Per l'aggiunta sinistra, il GCF è (x - 1), mentre per l'addend giusto, il GCF è (x + 2), che si annulla nel numeratore e nel denominatore, come si vede in {[(3 (x - 1)) ÷ ((x + (x - 1) (x + 2))]}.

3x - 3 5x + 10 3 (x - 1)
5 (x + 2)

_
_
_ +
_
_
\u003d
< em> _
_
_ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) ( x - 1)
(x + 2)
(x - 1)

Pertanto, quando i GCF si annullano, la risposta semplificata finale è [3 ÷ (x + 2)] + [5 ÷ (x - 1)]:

3 5

_
_
+ _
_ come il soluzione della decomposizione parziale della frazione.

x + 2 x - 1