I numeri reali sono tutti i numeri su una linea numerica che si estende dall'infinito negativo fino allo zero all'infinito positivo. Questa costruzione dell'insieme dei numeri reali non è arbitraria, ma piuttosto il risultato di un'evoluzione dai numeri naturali utilizzati per il conteggio. Il sistema di numeri naturali presenta diverse incoerenze e, man mano che i calcoli diventano più complessi, il sistema di numeri si espande per ovviare ai suoi limiti. Con numeri reali, i calcoli danno risultati coerenti e ci sono poche eccezioni o limitazioni come erano presenti con le versioni più primitive del sistema di numerazione.
TL; DR (Too Long; Didn't Read)
L'insieme di numeri reali è costituito da tutti i numeri su una riga numerica. Ciò include numeri naturali, numeri interi, numeri interi, numeri razionali e numeri irrazionali. Non include numeri immaginari o numeri complessi.
Numeri naturali e chiusura
La chiusura è la proprietà di un insieme di numeri che significa che se i calcoli consentiti vengono eseguiti su numeri membri dell'insieme, le risposte saranno anche numeri che sono membri dell'insieme. Si dice che l'insieme sia chiuso.
I numeri naturali sono i numeri di conteggio, 1, 2, 3 ... e l'insieme dei numeri naturali non è chiuso. Dato che i numeri naturali venivano usati nel commercio, sorsero immediatamente due problemi. Mentre i numeri naturali contavano oggetti reali, ad esempio le mucche, se un agricoltore aveva cinque mucche e vendeva cinque mucche, non vi era alcun numero naturale per il risultato. I primi sistemi di numerazione hanno sviluppato molto rapidamente un termine per zero per risolvere questo problema. Il risultato fu il sistema di numeri interi, ovvero i numeri naturali più lo zero.
Il secondo problema era anche associato alla sottrazione. Fintanto che i numeri contavano oggetti reali come le mucche, il contadino non poteva vendere più mucche di lui. Ma quando i numeri diventano astratti, sottraendo numeri più grandi da quelli più piccoli si ottengono risposte al di fuori del sistema di numeri interi. Di conseguenza, sono stati introdotti numeri interi, che sono i numeri interi più i numeri naturali negativi. Il sistema numerico ora includeva una linea numerica completa ma solo con numeri interi.
Numeri razionali
I calcoli in un sistema numerico chiuso dovrebbero fornire risposte all'interno del sistema numerico per operazioni come addizione e moltiplicazione, ma anche per la loro operazioni inverse, sottrazione e divisione. Il sistema di numeri interi è chiuso per addizione, sottrazione e moltiplicazione ma non per divisione. Se un numero intero è diviso per un altro numero intero, il risultato non è sempre un numero intero.
Dividere un numero intero piccolo per uno più grande dà una frazione. Tali frazioni sono state aggiunte al sistema numerico come numeri razionali. I numeri razionali sono definiti come qualsiasi numero che può essere espresso come rapporto di due numeri interi. Qualsiasi numero decimale arbitrario può essere espresso come un numero razionale. Ad esempio 2.864 è 2864/1000 e 0.89632 è 89632 /100.000. La linea numerica ora sembra essere completa.
Numeri irrazionali
Ci sono numeri sulla linea numerica che non possono essere espressi come una frazione di numeri interi. Uno è il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo e l'ipotenusa. Se due dei lati di un triangolo rettangolo sono 1 e 1, l'ipotenusa è la radice quadrata di 2. La radice quadrata di due è un decimale infinito che non si ripete. Tali numeri sono chiamati irrazionali e includono tutti i numeri reali che non sono razionali. Con questa definizione, la linea numerica di tutti i numeri reali è completa perché qualsiasi altro numero reale che non è razionale è incluso nella definizione di irrazionale.
Infinity
Sebbene si dice che la linea numerica reale si estenda da da infinito negativo a positivo, l'infinito stesso non è un numero reale ma piuttosto un concetto del sistema numerico che lo definisce come una quantità maggiore di qualsiasi numero. Matematicamente l'infinito è la risposta a 1 /x quando x raggiunge lo zero, ma la divisione per zero non è definita. Se l'infinito fosse un numero, porterebbe a contraddizioni perché l'infinito non segue le leggi dell'aritmetica. Ad esempio, l'infinito più 1 è ancora infinito.
Numeri immaginari
L'insieme dei numeri reali è chiuso per addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, tranne per la divisione per zero, che non è definita. L'insieme non è chiuso per almeno un'altra operazione.
Le regole di moltiplicazione nell'insieme dei numeri reali specificano che la moltiplicazione di un numero negativo e positivo dà un numero negativo mentre la moltiplicazione di positivo o negativo i numeri danno risposte positive. Ciò significa che il caso speciale di moltiplicare un numero per se stesso produce un numero positivo sia per i numeri positivi che per quelli negativi. L'inverso di questo caso speciale è la radice quadrata di un numero positivo, che fornisce sia una risposta positiva che una negativa. Per la radice quadrata di un numero negativo, non c'è risposta nell'insieme dei numeri reali.
Il concetto dell'insieme dei numeri immaginari affronta il problema delle radici quadrate negative nei numeri reali. La radice quadrata di meno 1 è definita come i e tutti i numeri immaginari sono multipli di i. Per completare la teoria dei numeri, l'insieme di numeri complessi è definito come includendo tutti i numeri reali e tutti i numeri immaginari. I numeri reali possono continuare a essere visualizzati su una linea numerica orizzontale mentre i numeri immaginari sono una linea numerica verticale, con i due che si intersecano a zero. I numeri complessi sono punti nel piano delle due linee numeriche, ciascuna con una componente reale e una componente immaginaria.
