Talvolta è necessario trovare un vettore diverso da zero che, moltiplicato per una matrice quadrata, ci restituisca un multiplo del vettore. Questo vettore diverso da zero è chiamato "autovettore". Gli autovettori non sono solo di interesse per i matematici, ma per gli altri in professioni come la fisica e l'ingegneria. Per calcolarli, dovrai comprendere l'algebra della matrice e i determinanti.
Impara e capisci la definizione di "autovettore". Si trova per una matrice n x n quadrata A e anche un autovalore scalare chiamato "lambda". Lambda è rappresentato dalla lettera greca, ma qui la abbreviamo in L. Se esiste un vettore diverso da zero x dove Ax \u003d Lx, questo vettore x viene chiamato "autovalore di A."
Trova gli autovalori della matrice usando l'equazione caratteristica det (A - LI) \u003d 0. "Det" indica il determinante e "I" è la matrice dell'identità.
Calcola l'autovettore per ciascun autovalore trovando un eigenspace E (L), che è lo spazio nullo dell'equazione caratteristica. I vettori diversi da zero di E (L) sono gli autovettori di A. Questi si trovano ricollegando gli autovettori nella matrice caratteristica e trovando una base per A - LI \u003d 0.
Esercita i passaggi 3 e 4 di studiando la matrice a sinistra. Viene mostrata una matrice quadrata 2 x 2.
Calcola gli autovalori con l'uso dell'equazione caratteristica. Det (A - LI) è (3 - L) (3 - L) --1 \u003d L ^ 2 - 6L + 8 \u003d 0, che è il polinomio caratteristico. Risolvere questo algebricamente ci dà L1 \u003d 4 e L2 \u003d 2, che sono gli autovalori della nostra matrice.
Trova l'autovettore per L \u003d 4 calcolando lo spazio nullo. Fallo posizionando L1 \u003d 4 nella matrice caratteristica e trovando la base per A - 4I \u003d 0. Risolvendo questo, troviamo x - y \u003d 0 o x \u003d y. Questa ha solo una soluzione indipendente poiché sono uguali, come x \u003d y \u003d 1. Pertanto, v1 \u003d (1,1) è un autovettore che abbraccia lo spazio di L1 \u003d 4.
Ripetere il passaggio 6 per trova l'autovettore per L2 \u003d 2. Troviamo x + y \u003d 0 o x \u003d --y. Anche questa ha una soluzione indipendente, diciamo x \u003d --1 e y \u003d 1. Pertanto v2 \u003d (--1,1) è un autovettore che si estende sull'autospazio di L2 \u003d 2.
