L'aggiunta o la sottrazione di una costante a ciascun membro di un'equazione non modificherà l'uguaglianza.

Ad esempio, per l'equazione

$$x+2=5,$$

possiamo aggiungere 3 ad entrambi i lati per ottenere

$$x+2+3=5+3,$$

che semplifica a

$$x+5=8$$

Possiamo anche sottrarre 2 da entrambi i lati per ottenere

$$x+2-2=5-2,$$

che semplifica a

$$x=3.$$

2. Moltiplicazione o divisione

Moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per una costante diversa da zero non modificherà l'uguaglianza.

Ad esempio, per l'equazione

$$3x=15,$$

possiamo dividere entrambi i membri per 3 per ottenere

$$\frac{3x}{3}=\frac{15}{3},$$

che semplifica a

$$x=5.$$

Possiamo anche moltiplicare entrambi i membri per 2 per ottenere

$$3x\cdot2=15\cdot2,$$

che semplifica a

$$6x=30$$

3. Factoring

Il factoring è un processo di scrittura di un'espressione come prodotto di espressioni più semplici.

Ad esempio, per l'equazione

$$x^2+2x-3=0,$$

possiamo fattorizzare come segue:

$$(x+3)(x-1)=0$$

Ponendo ogni fattore uguale a zero, otteniamo

$$x+3=0 \quad \text{o} \quad x-1=0$$

Risolvendo ciascuna equazione, otteniamo

$$x=-3 \quad \text{o} \quad x=1$$

4. Completamento del quadrato

Completare il quadrato è un processo di trasformazione di un'equazione quadratica in un quadrato perfetto.

Ad esempio, per l'equazione

$$x^2-4x-5=0,$$

possiamo completare il quadrato come segue:

$$x^2-4x+4-4-5=0$$

$$(x-2)^2-9=0$$

Aggiungendo 9 ad entrambi i membri, otteniamo

$$(x-2)^2=9$$

Prendendo la radice quadrata di entrambi i membri otteniamo

$$x-2=\pm3$$

Risolvendo ciascuna equazione, otteniamo

$$x=2+3=5 \quad \text{o} \quad x=2-3=-1$$

5. Sostituzione

La sostituzione è un processo di sostituzione di un'espressione con un'altra espressione equivalente.

Ad esempio, per l'equazione

$$y=3x+2$$

possiamo sostituire \(y\) con \(x+5\):

$$x+5=3x+2$$

Risolvere per \(x\):

$$x-3x=-5+2$$

$$-2x=-3$$

$$x=\frac{3}{2}$$