Ecco come determinare lo spostamento di un semplice oscillatore armonico quando le sue energie cinetiche e potenziali sono uguali:

Comprensione dei concetti

* Simple Armonic Motion (SHM): Un tipo di movimento periodico in cui la forza di ripristino è proporzionale allo spostamento dall'equilibrio. Gli esempi includono una massa su una molla o un pendolo che oscilla con piccoli angoli.

* Energia cinetica (KE): L'energia del movimento, data da ke =(1/2) mv², dove m è massa e V è la velocità.

* Energia potenziale (PE): L'energia immagazzinata a causa della posizione o della configurazione di un oggetto. In SHM, l'energia potenziale è spesso dovuta alla compressione o all'estensione di una molla, ed è data da PE =(1/2) kx², dove k è la costante di molla e x è lo spostamento dall'equilibrio.

Derivazione

1. Energie uguali: Ci viene dato che ke =pe.

2. espressioni sostitutive: Sostituire le equazioni per l'energia cinetica e potenziale:

(1/2) mv² =(1/2) kx²

3. Semplifica: Annulla i termini (1/2).

4. Raccolta di velocità e spostamento: In SHM, la velocità (V) è correlata allo spostamento (x) e alla frequenza angolare (ω) dall'equazione:

v =ω√ (a² - x²) dove a è l'ampiezza dell'oscillazione.

5. Sostituire la velocità: Sostituire l'equazione di velocità nell'equazione energetica:

m (ω√ (a² - x²)) ² =kx²

6. Risolvi per lo spostamento (x): Semplificare e risolvere per x:

mω² (a² - x²) =kx²

mω²a² =(k + mω²) x²

x² =(mω²a²)/(k + mω²)

x =√ [(mω²a²)/(k + mω²)]

7. Relazione tra ω e k/m: Ricordiamo che la frequenza angolare (ω) in SHM è correlata alla costante di molla (k) e alla massa (m) da:

ω =√ (k/m)

8. Sostituire ω: Sostituire l'espressione per ω nell'equazione di spostamento:

x =√ [(m (k/m) a²)/(k + (k/m) m)]

x =√ [(ka²)/(2k)]

x =√ (a²/2)

9. Risultato finale: Pertanto, lo spostamento (x) di un semplice oscillatore armonico quando le sue energie cinetiche e potenziali sono uguali è:

x =a/√2

Interpretazione

Questo risultato mostra che quando le energie cinetiche e potenziali sono uguali in un semplice movimento armonico, lo spostamento è uguale all'ampiezza dell'oscillazione divisa per la radice quadrata di 2. In altre parole, lo spostamento è circa il 70,7% dell'ampiezza.