La matematica delle gocce di pioggia. Credito:Stefan Holm/shutterstock.com
Hai mai fatto una passeggiata sotto la pioggia in una calda giornata primaverile e hai visto quella pozzanghera perfetta? Sai, quello in cui le gocce di pioggia sembrano atterrare al giusto ritmo, provocando una danza di cerchi evanescenti?
Anche prima di entrare nel campo della ricerca sul flusso dei fluidi quasi 15 anni fa, Ero affascinato dalle onde che appaiono dopo che una goccia di pioggia colpisce una pozzanghera.
Quando mi sono concentrato sullo studio delle onde instabili nei fogli liquidi, orientato a mitigare le onde indesiderabili nei processi di rivestimento e atomizzazione industriali, il mio fascino per le onde pozzanghere si è trasformato in un'ossessione. Cosa sta succedendo? Da dove viene il modello? Perché l'impatto della pioggia in una pozzanghera ha un aspetto diverso rispetto a quando la pioggia cade altrove, come in un lago o nell'oceano?
Si scopre che tutto ha a che fare con qualcosa chiamato dispersione.
Nel contesto delle onde d'acqua, la dispersione è la capacità delle onde di diverse lunghezze d'onda di muoversi ciascuna alla propria velocità individuale. Guardando giù su una pozzanghera, vediamo un insieme di tali onde muoversi insieme come un'increspatura nell'acqua.
Quando una goccia di pioggia cade, immaginalo come un "ding" alla superficie dell'acqua. Questo ding può essere idealizzato come un pacchetto di onde di tutte le diverse dimensioni. Dopo che la goccia di pioggia cade, le onde del pacchetto sono pronte per iniziare la loro nuova vita nella pozzanghera.
Però, se vediamo quelle onde come increspature dipende dal corpo d'acqua su cui cade la goccia di pioggia. Il numero e la distanza degli anelli che vedi dipendono dall'altezza della pozzanghera. Questo è stato verificato in alcuni esperimenti molto interessanti sui serbatoi ondulati, dove una goccia della stessa velocità cade in un contenitore con acqua a diverse profondità.
Le pozzanghere poco profonde consentono increspature, perché sono molto più sottili che larghe. L'equilibrio tra la forza superficiale – tra la pozza d'acqua e l'aria sopra di essa – e la forza gravitazionale si capovolge a favore della forza superficiale. Questa è la chiave, poiché la forza superficiale dipende dalla curvatura della superficie dell'acqua, mentre la forza gravitazionale no.
Una pozzanghera inizialmente ancora poco profonda si curva in superficie dopo che la goccia di pioggia colpisce. La forza superficiale è diversa per le onde lunghe rispetto a quelle corte, provocando la separazione di onde di diverse dimensioni in increspature. Per pozzanghere poco profonde, le onde lunghe si allontanano lentamente dal punto di impatto, mentre le onde corte si muovono veloci, e le onde davvero corte si muovono molto velocemente, diventando strettamente imballato al perimetro. Questo crea lo schema incantevole che vediamo.
Le gocce di pioggia possono reagire in modo diverso in altre situazioni. Immagina che la pioggia colpisca un lago o un oceano - o quelle pozzanghere profonde che richiedono galosce. Qui, la goccia di pioggia colpisce l'acqua, ma la forza di gravità diventa più importante. Muove onde di tutte le dimensioni alla stessa velocità che può sopraffare l'effetto di increspatura dovuto alla forza superficiale.
Un modello di onde in una pozza dispersiva, dopo che una goccia di pioggia colpisce. Le prime tre cifre mostrano cosa succede dopo che una goccia colpisce la pozzanghera, con frecce che indicano il passare del tempo. La figura in basso mostra la vista in sezione trasversale attraverso la pozzanghera, evidenziando che il fascio d'onda iniziale causato dalla goccia di pioggia si divide in onde di diverse dimensioni. Le grandi onde al centro si muovono più lentamente delle piccole onde al perimetro. Credito:Nate Barlow
La combinazione dell'insegnamento delle equazioni differenziali alle derivate parziali mentre si continuava contemporaneamente alla ricerca sui fogli liquidi ha portato a quella che ho chiamato l'"equazione della pozza". Quando risolto, l'equazione crea una simulazione animata di ciò che accade dopo che una goccia di pioggia colpisce una pozzanghera. È una versione semplificata di un'equazione in uno dei più recenti sforzi di ricerca del nostro gruppo, ma è anche coerente con la descrizione classica delle increspature.
Uso questa descrizione approssimativa delle onde di pozzanghera come un modo per entusiasmare gli studenti per la matematica mettendola in relazione con il mondo che li circonda.
Lo studio delle onde guidate dalla forza superficiale è importante per applicazioni come i processi di rivestimento coinvolti nella produzione di batterie e celle solari.
Tali onde appaiono anche come risultato del colpo di gamba di un insetto rampicante, ma la ricerca ha scoperto che lo strider dell'acqua non sta specificamente cercando di rendere quelle onde per consentire il viaggio.
La bellezza delle onde della pozzanghera non è cosa da poco. Collegando la natura con il suo linguaggio originario – la matematica – otteniamo l'accesso al suo pannello di controllo, permettendoci di osservare ogni minimo dettaglio, scoprendo tutti i segreti.
Questo articolo è stato ripubblicato da The Conversation con una licenza Creative Commons. Leggi l'articolo originale. 
