Probabilmente hai un'idea intuitiva di cosa sia un cerchio:la forma di un canestro da basket, di una ruota o di un quarto. Potresti anche ricordare dai tempi del liceo che il raggio è una linea retta che inizia dal centro del cerchio e termina nel suo perimetro.
Un cerchio unitario è semplicemente un cerchio che ha un raggio con una lunghezza pari a 1. Ma spesso viene fornito con altri vantaggi.
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Un cerchio unitario definisce le relazioni del triangolo rettangolo note come seno, coseno e tangente. Queste relazioni descrivono come gli angoli e i lati dei triangoli rettangoli si relazionano tra loro.
Supponiamo, ad esempio, di avere un triangolo rettangolo con un angolo di 30 gradi e il cui lato più lungo, o ipotenusa, è lungo 7. Possiamo utilizzare le nostre relazioni predefinite del triangolo rettangolo per calcolare le lunghezze dei lati dei rimanenti due triangoli lati.
Questa branca della matematica, nota come trigonometria, ha applicazioni pratiche quotidiane come l'edilizia, il GPS, l'idraulica, i videogiochi, l'ingegneria, i lavori di falegnameria e la navigazione aerea.
Per memorizzare un cerchio unitario standard, dobbiamo essere in grado di richiamare tre componenti principali:
Per aiutarci ricorderemo una gita all'Unità Pizza Palace. Prenditi qualche minuto per memorizzare quanto segue finché non sarai in grado di recitarlo senza guardare:
Immagina una pizza intera, tagliata in quattro fette uniformi. In matematica chiameremmo queste quattro parti del cerchio quadranti.
Possiamo usare le coordinate (x, y) per descrivere qualsiasi punto lungo il bordo esterno del cerchio. Il valore x o la coordinata x rappresenta la distanza percorsa a sinistra o a destra dal centro, mentre il valore y o la coordinata y rappresenta la distanza percorsa verso l'alto o verso il basso.
La coordinata x è il coseno dell'angolo formato dal punto, dall'origine e dall'asse x. La coordinata y corrisponde al valore esatto della funzione seno per quell'angolo.
In una circonferenza unitaria, una linea retta che parte dal centro del cerchio raggiunge il bordo del cerchio in corrispondenza delle coordinate (1, 0). Ecco le coordinate se la linea andasse nelle altre direzioni:
I quattro angoli associati (in radianti, non in gradi) hanno tutti un denominatore di 2. (Un radiante è l'angolo formato quando si prende il raggio e lo si avvolge attorno a un cerchio. Un grado misura gli angoli in base alla distanza percorsa. Un cerchio è di 360 gradi o 2π radianti).
I numeratori iniziano da 0, a partire dalla coordinata (1,0), e contano in senso antiorario di 1π. Questo processo produrrà 0π/2, 1π/2, 2π/2 e 3π/2. Semplifica queste frazioni per ottenere 0, π/2, π e 3π/2.
Inizia con "3 torte". Dai un'occhiata all'asse y. Gli angoli in radianti direttamente a destra e a sinistra dell'asse y hanno tutti un denominatore di 3. Ogni angolo rimanente ha un numeratore che include il valore matematico pi, scritto come π.
"3 torte per 6" viene utilizzato per richiamare i restanti 12 angoli in un cerchio unitario standard, con tre angoli in ciascun quadrante. Ciascuno di questi angoli è scritto come frazione.
Il "per $6" serve a ricordarci che in ogni quadrante i restanti denominatori sono 4 e poi 6.
La parte più difficile di questo passaggio è completare il numeratore di ogni frazione.
Nel quadrante 2 (quarto in alto a sinistra del cerchio), metti 2, poi 3, poi 5 davanti a π.
Il tuo primo angolo nel quadrante 2 sarà 2π/3. Questo si calcola facilmente sommando il 2 al numeratore e il 3 al denominatore, che equivale a 5.
Guarda l'angolo dritto nel quadrante 4 (quarto in basso a destra del cerchio). Metti questo 5 al numeratore davanti a π. Ripeti questo processo per gli altri due angoli nei quadranti 2 e 4.
Ripeteremo lo stesso processo per i quadranti 1 (in alto a destra) e 3 (in basso a sinistra). Ricorda, proprio come x è uguale a 1x, π è uguale a 1π. Quindi stiamo aggiungendo 1 a tutti i denominatori nel quadrante 1.
Il processo per elencare gli angoli in gradi (invece che in radianti) è descritto alla fine di questo articolo.
Il "2" in "2 tabelle quadrate" ci ricorda che tutte le rimanenti 12 coppie di coordinate hanno un denominatore pari a 2.
"Quadrato" serve a ricordarci che il numeratore di ogni coordinata include una radice quadrata. Stiamo iniziando solo dal quadrante 1 per semplificare le cose. (Suggerimento:ricorda che la radice quadrata di 1 è 1, quindi queste frazioni possono essere semplificate solo a 1/2.)
Il "1, 2, 3" ci mostra la successione dei numeri sotto ciascuna radice quadrata. Per le coordinate x del quadrante 1, contiamo da 1 a 3, iniziando dalla coordinata superiore e scendendo.
Le coordinate y hanno gli stessi numeratori, ma contano da 1 a 3 nella direzione opposta, dal basso verso l'alto.
Il quadrante 2 ha le stesse coordinate del quadrante 1, ma le coordinate x sono negative.
Il quadrante 3 scambia le coordinate x e y rispetto al quadrante 1. Anche tutte le coordinate x e y sono negative.
Come il quadrante 3, anche il quadrante 4 scambia le coordinate xey rispetto al quadrante 1. Ma solo le coordinate y sono negative.
Potresti voler fare riferimento agli angoli in gradi invece che in radianti. Per fare ciò, inizia da 0 gradi alla coordinata (1,0). Da lì aggiungeremo 30, 15, 15 e poi 30. Nel quadrante 1, aggiungiamo 30 a 0 per ottenere 30, aggiungiamo 15 a 30 per ottenere 45, aggiungiamo 15 a 45 per ottenere 60 e aggiungiamo 30 a 60 per ottenere 90.
Ripetiamo quindi il procedimento per i restanti quadranti, aggiungendo 30, 15, 15 e 30 fino a raggiungere la fine del cerchio. Quindi il quadrante 4 avrà angoli compresi tra 270 e 330 gradi (vedi figura 10).
Ricorda, la circonferenza unitaria può essere utilizzata per trovare due lati sconosciuti di un triangolo rettangolo con un angolo di 30 gradi e il cui lato più lungo, o ipotenusa, è lungo 7. Proviamolo.
Prendi nota di dove si trovano 30° sulla circonferenza unitaria. Usa quella linea e l'asse x per creare un triangolo come segue.
In un cerchio unitario, qualsiasi linea che inizia al centro del cerchio e termina al suo perimetro avrà una lunghezza pari a 1. Quindi, il lato più lungo di questo triangolo avrà una lunghezza pari a 1. Il lato più lungo di un triangolo rettangolo è detta anche ipotenusa. Il punto in cui l'ipotenusa tocca il perimetro del cerchio è in √3/2, 1/2.
Quindi sappiamo che la base del triangolo (sull'asse x) ha una lunghezza di √3/2 e l'altezza del triangolo è 1/2.
Un altro modo di pensarci è che la base è √3/2 volte la lunghezza dell'ipotenusa e l'altezza è 1/2 volte la lunghezza dell'ipotenusa.
Quindi, se invece l'ipotenusa è lunga 7, la base del nostro triangolo sarà 7 x √3/2 =7√3/2.
Il triangolo avrà un'altezza di 7 x 1/2 =7/2.
Questo articolo è stato aggiornato insieme alla tecnologia AI, quindi verificato e modificato da un editor di HowStuffWorks.
Questo è interessanteSi pensa che la trigonometria sia stata originariamente sviluppata nel I secolo a.C. comprendere l'astronomia, lo studio delle stelle e del sistema solare. È ancora utilizzato nell'esplorazione spaziale da aziende del calibro della NASA e da compagnie di trasporto spaziale private.
