L'energia cinetica rotazionale Ora, se vogliamo descrivere l'energia cinetica di un oggetto esteso che subisce un movimento più complesso, il calcolo diventa più complicato. Potremmo fare approssimazioni successive suddividendo l'oggetto esteso in piccoli pezzi, ognuno dei quali può essere approssimato come una massa di punti, quindi calcolare separatamente l'energia cinetica lineare per ogni massa di punti e sommarli tutti per trovare il totale per l'oggetto. Più piccolo rompiamo l'oggetto, migliore è l'approssimazione. Nel limite in cui i pezzi diventano infinitesimali, questo può essere fatto con il calcolo. Ma siamo fortunati! Quando si tratta di movimento rotazionale, c'è una semplificazione. Per un oggetto rotante, se descriviamo la sua distribuzione di massa attorno all'asse di rotazione in termini del suo momento di inerzia, I Momento d'inerzia Le unità SI per il momento d'inerzia sono kgm 2 (che è coerente con la nostra idea che dipende dalla massa e dalla distanza dall'asse di rotazione). I momenti di inerzia per diversi oggetti sono mostrati nella seguente tabella: (Tabella delle formule del momento di inerzia) Suggerimenti Il momento di inerzia per qualsiasi oggetto può essere trovato usando il calcolo e la formula per il momento di inerzia di una massa punto. La formula per l'energia cinetica rotazionale è dato da: Dove I La forma della formula dell'energia cinetica rotazionale è analoga all'equazione dell'energia cinetica traslazionale; il momento di inerzia svolge il ruolo di massa e la velocità angolare sostituisce la velocità lineare. Si noti che l'equazione dell'energia cinetica rotazionale fornisce lo stesso risultato per una massa punto dell'equazione lineare. Se immaginiamo una massa punto m Se un oggetto sta ruotando entrambi e il suo centro di massa si sta muovendo lungo un percorso rettilineo (come accade per esempio con un pneumatico rotolante), allora energia cinetica totale è il somma dell'energia cinetica rotazionale e delle energie cinetiche traslazionali: La formula dell'energia cinetica rotazionale ha molte applicazioni. Può essere usato per calcolare la semplice energia cinetica di un oggetto rotante, per calcolare l'energia cinetica di un oggetto rotolante (un oggetto che subisce sia il movimento rotatorio che traslazionale) e per risolvere altre incognite. Considera i seguenti tre esempi: Esempio 1: la Terra ruota attorno al suo asse circa una volta ogni 24 ore. Se assumiamo che abbia una densità uniforme, qual è la sua energia cinetica rotazionale? (Il raggio della terra è 6,37 × 10 6 m, e la sua massa è 5,97 × 10 24 kg.) Per trovare l'energia cinetica rotazionale, dobbiamo prima trovare il momento di inerzia. Approssimando la Terra come una sfera solida, otteniamo: La velocità angolare è di 2π radianti /giorno. La conversione di questo in rad /s dà: Quindi l'energia cinetica rotazionale della Terra è quindi: Curiosità: è più di 10 volte l'energia totale che il sole emette in un minuto! Esempio 2: Un cilindro uniforme di massa 0,75 kg e raggio 0,1 m rotola sul pavimento a una velocità costante di 4 m /s. Qual è la sua energia cinetica? L'energia cinetica totale è data da: In questo caso, I \u003d 1/2 mr 2 è il momento d'inerzia per un cilindro solido e ω Semplificando l'espressione per l'energia cinetica totale e inserendo i valori si ottiene: Nota che non l'abbiamo fatto anche bisogno di usare il raggio! Si è annullato a causa della relazione diretta tra la velocità di rotazione e la velocità lineare. Esempio 3: uno studente in bicicletta costeggia una collina dal resto. Se l'altezza verticale della collina è di 30 m, quanto è veloce lo studente in fondo alla collina? Supponiamo che la bicicletta pesa 8 kg, il ciclista pesa 50 kg, ciascuna ruota pesa 2,2 kg (inclusa nel peso della bicicletta) e ogni ruota abbia un diametro di 0,7 m. Approssimare le ruote come cerchi e assumere che l'attrito sia trascurabile. Qui possiamo usare il risparmio energetico meccanico per trovare la velocità finale. L'energia potenziale in cima alla collina si trasforma in energia cinetica in basso. Quell'energia cinetica è la somma dell'energia cinetica traslazionale dell'intera persona + sistema bici e delle energie cinetiche rotazionali dei pneumatici. Energia totale del sistema: La formula per l'energia totale in termini di energie cinetiche nella parte inferiore della collina è: La risoluzione di v Infine, inserendo i numeri otteniamo la nostra risposta:
descrive l'energia del movimento risultante dalla rotazione di un oggetto o movimento circolare. Ricordiamo che energia cinetica lineare
di una massa m
che si muove con velocità v
è data da 1 /2mv 2. Questo è un calcolo semplice per qualsiasi oggetto che si muove in un percorso in linea retta. Si applica al centro di massa dell'oggetto, consentendo all'oggetto di essere approssimato come una massa in punti.
, siamo quindi in grado di usare una semplice equazione di energia cinetica rotazionale, discussa più avanti in questo articolo .
Momento d'inerzia
è una misura di quanto sia difficile indurre un oggetto a cambiare il suo movimento di rotazione attorno a un determinato asse. Il momento di inerzia per un oggetto rotante dipende non solo dalla massa dell'oggetto, ma anche da come la massa viene distribuita attorno all'asse di rotazione. Più è lontano dall'asse che la massa è distribuita, più è difficile cambiarne il movimento rotatorio, e quindi maggiore è il momento d'inerzia.
Equazione dell'energia cinetica rotazionale
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2
è il momento di inerzia dell'oggetto e ω
è la velocità angolare dell'oggetto in radianti al secondo (rad /s). L'unità SI per l'energia cinetica rotazionale è il joule (J).
che si muove in un cerchio di raggio r
con velocità v
, quindi la sua velocità angolare è ω \u003d v /r e il suo momento di inerzia è mr 2. Entrambe le equazioni di energia cinetica danno lo stesso risultato, come previsto:
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v /r) ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} \\ frac {m \\ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\\ cancel {r ^ 2}} \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d KE_ {lin}
KE_ {tot} \u003d KE_ {rot} + KE_ {lin} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} { 2} mv ^ 2 Esempi di utilizzo della formula dell'energia cinetica rotazionale
I \u003d \\ frac {2} {5} mr ^ 2 \u003d \\ frac {2} {5} (5.97 \\ times10 ^ {24} \\ text {kg}) (6.37 \\ times10 ^ 6 \\ text {m}) ^ 2 \u003d 9.69 \\ times10 ^ {37} \\ text {kgm} ^ 2
2 \\ pi \\ frac {\\ text {radians}} {\\ cancel {\\ text {day}}} \\ frac {1 \\ cancel {\\ text {day}}} {86400 \\ text {seconds}} \u003d 7.27 \\ times10 ^ {- 5} \\ text {rad /s}
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} { 2} I \\ omega ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} (9.69 \\ times10 ^ {37} \\ text {kgm} ^ 2) (7.27 \\ times10 ^ {- 5} \\ text {rad /s}) ^ 2 \u003d 2,56 \\ times 10 ^ {29} \\ text {J}
KE_ {tot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2
è correlato alla velocità lineare tramite ω \u003d v /r_ ._
KE_ {tot} \u003d \\ frac {1} {2} (\\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v /r) ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d \\ frac {1} {4} mv ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d \\ frac {3} { 4} mv ^ 2 \\\\ \u003d \\ frac {3} {4} (0.75 \\ text {kg}) (4 \\ text {m /s}) \u003d 2.25 \\ text {J}
E_ {tot} \u003d PE_ { top} \u003d mgh \u003d (50 \\ text {kg} + 8 \\ text {kg}) (9.8 \\ text {m /s} ^ 2) (30 \\ text {m}) \u003d 17.052 \\ text {J}
E_ {tot} \u003d KE_ {bottom} \u003d \\ frac {1} {2} I_ {tires} \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d \\ frac {1} {2} (2 \\ times m_ {tire} \\ times r_ {tire} ^ 2) (v /r_ {tire}) ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d m_ {pneumatico} v ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d (m_ {pneumatico } + \\ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
dà:
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {E_ {tot}} {m_ {tire} + \\ frac {1} {2} m_ {tot}}}
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {17.052 \\ text {J}} { 2.2 \\ text {kg} + \\ frac {1} {2} 58 \\ text {kg}}} \u003d 23.4 \\ text {m /s}
