Poiché la temperatura diminuisce, possiamo scrivere l’equazione differenziale:

$$\begin{align}\frac{dT}{dt} =k(T-5) \end{align}$$

dove k è una costante positiva.

Separando le variabili ed integrando si ottiene:

$$\begin{align} \frac{1}{T-5}dT =kdt\end{align}$$

$$\ln |T-5|=kt+C_1$$

$$T-5=Ce^{kt} $$

$$T=Ce^{kt}+5 $$

Utilizzando la condizione iniziale \(T(0)=20\), troviamo che \(C=15\)

Pertanto, la soluzione dell'equazione differenziale (1) è

$$T(t)=15e^{kt}+5$$

Usando l'altra condizione data \(T(1)=12\), lo troviamo

$$12=15e^k+5$$

$$e^k=\frac{7}{10} \quindi $$

$$k=\ln\frac{7}{10} $$

Pertanto la soluzione dell’equazione differenziale (1) diventa:

$$\boxed{T(t)=15 e^{\left ( \ln \frac{7}{10} \right ) t} +5 }$$

Impostando \(T=6\), finalmente otteniamo

$$6=15e^{(\ln \frac{7}{10})t}+5$$

$$1=15e^{(\ln \frac{7}{10})t}$$

$$\frac{1}{15}=e^{(\ln \frac{7}{10})t}$$

$$(\frac{1}{15})^{\frac{1}{\ln \frac{7}{10}}} =t $$

$$t=\frac{\ln{\frac{1}{15}}}{\ln \frac{7}{10}}$$

$$t=\frac{\ln 1-\ln15}{ \ln7-\ln 10} \circa 1,23\text{ minuti}$$

Pertanto, occorreranno circa 1,23 minuti affinché il termometro indichi C.