Comprensione dei concetti
* Motion circolare: Quando una particella si muove in un percorso circolare, la sua direzione cambia costantemente, anche se la sua velocità è costante. Questo cambiamento nella direzione significa che c'è un'accelerazione.
* Velocità angolare (ω): Questo misura la velocità con cui la particella sta ruotando. È il tasso di variazione dell'angolo (θ) rispetto al tempo (t):ω =dθ/dt.
* Accelerazione centripeta (A C ): Questa accelerazione è diretta verso il centro del cerchio ed è responsabile di mantenere la particella in movimento in un percorso circolare.
Deriva l'accelerazione
1. Vettore di posizione: Diciamo che la particella è in una posizione r rispetto al centro del cerchio. Questo vettore di posizione è una funzione del tempo: r (t) .
2. vettore di velocità: Il vettore di velocità è la derivata temporale del vettore di posizione: v (t) =dr (t)/dt . Poiché la particella si muove in un cerchio, la sua velocità è sempre tangente al cerchio.
3. Vettore di accelerazione: Il vettore di accelerazione è il derivato del tempo del vettore di velocità: a (t) =dv (t)/dt . Per trovare l'accelerazione, dobbiamo differenziare il vettore di velocità.
4. Utilizzo di coordinate polari: È conveniente usare le coordinate polari (r, θ) per descrivere la posizione della particella. In questo sistema:
* r è la distanza radiale dal centro del cerchio.
* θ è l'angolo che il vettore di posizione fa con un asse di riferimento.
5. Esprimendo la velocità nelle coordinate polari:
* v =(dr/dt) * r̂ + (r * dθ/dt) * θ̂
* R̂ è il vettore dell'unità nella direzione radiale.
* θ̂ è il vettore dell'unità nella direzione tangenziale.
6. Esprimendo l'accelerazione nelle coordinate polari:
* a =[(d²r/dt²) - (r * (dθ/dt) ²)] * r̂ + [(r * d²θ/dt²) + 2 * (dr/dt) * (dθ/dt)] * θ̂
7. Semplificazione per il movimento circolare uniforme:
* Per un movimento circolare uniforme, il raggio (R) è costante, quindi dr/dt =0 e d²r/dt² =0.
* Inoltre, la velocità angolare (ω) è costante, quindi d²θ/dt² =0.
8. Risultato finale:
* a =- (r * ω²) * r̂
Interpretazione:
* Direzione: L'accelerazione è nella direzione radiale negativa (verso il centro del cerchio).
* Magnitudo: L'entità dell'accelerazione è un c =R * ω². Questa è l'accelerazione centripeta.
Pertanto, l'accelerazione di una particella sottoposta a movimento circolare uniforme è data da - (r * ω²) * r̂, dove r è il raggio del cerchio e ω è la velocità angolare.
