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    Come fattore Perfect Square Trinomials

    Una volta che inizi a risolvere equazioni algebriche che coinvolgono polinomi, diventa molto utile la capacità di riconoscere forme speciali di polinomi facilmente fattorizzabili. Uno dei polinomi a "fattore facile" più utili da individuare è il quadrato perfetto, o il trinomio che risulta dalla quadratura di un binomio. Una volta identificato un quadrato perfetto, il factoring nei suoi singoli componenti è spesso una parte vitale del processo di risoluzione dei problemi.
    Identificazione dei Trinomi del quadrato perfetto

    Prima di poter fattorizzare un trinomio del quadrato perfetto, tu "have to learn to recognize it.", 3, [[Un quadrato perfetto può assumere una delle due forme:

  • a
    2 + 2_ab_ + b
    2, che è il prodotto di ( a
    + b
    ) ( a
    + b
    ) o ( a
    + b
    ) 2

  • a
    2 - 2_ab_ + b
    2, che è il prodotto di ( a
    - b
    ) ( a
    - b
    ) o ( a
    - b
    ) < sup> 2


    Alcuni esempi di quadrati perfetti che potresti vedere nel "mondo reale" dei problemi di matematica includono:

  • x
    2 + 8_x_ + 16 (Questo è il prodotto di ( x
    + 4) 2)
  • y
    2 - 2_y_ + 1 (Questo è il prodotto di ( y
    - 1) 2)
  • 4_x_ 2 + 12_x_ + 9 (Questo è un po 'più subdolo; è il prodotto di (2_x_ + 3) 2)

    Qual è la chiave per riconoscere questi quadrati perfetti?

    1. Controlla il primo e il terzo termine

      Controlla il primo e il terzo termine del trinomio. Sono entrambi quadrati? Se sì, capire di cosa sono quadrati. Ad esempio, nel secondo esempio "mondo reale" riportato sopra, y
      2 - 2_y_ + 1, il termine y
      2 è ovviamente il quadrato di y.
      Il termine 1 è, forse meno ovviamente, il quadrato di 1, perché 1 2 \u003d 1.

    2. Moltiplica le radici

      Moltiplica le radici del primo e terzo termine insieme. Per continuare l'esempio, è y
      e 1, che ti dà y
      × 1 \u003d 1_y_ o semplicemente y
      .

      Quindi, moltiplica il tuo prodotto per 2. Continuando l'esempio, hai 2_y._

    3. Confronta con il medio termine

      Infine, confronta il risultato dell'ultimo passaggio con il medio termine del polinomio. Si abbinano? Nel polinomio y
      2 - 2_y_ + 1, lo fanno. (Il segno è irrilevante; sarebbe anche una corrispondenza se il termine medio fosse + 2_y_.)

      Perché la risposta nel passaggio 1 è stata "sì" e il risultato ottenuto nel passaggio 2 corrisponde al termine medio del polinomio, sai che stai guardando un trinomio quadrato perfetto.

      Factoring di un trinomio quadrato perfetto

      Una volta che sai che stai guardando un trinomio quadrato perfetto, il processo di factoring è abbastanza semplice.

      1. Identifica le radici

        Identifica le radici, o i numeri al quadrato, nel primo e terzo termine del trinomio. Considera un altro dei tuoi trinomi di esempio che già conosci è un quadrato perfetto, x
        2 + 8_x_ + 16. Ovviamente il numero che viene quadrato al primo termine è x
        . Il numero al quadrato nel terzo termine è 4, perché 4 2 \u003d 16.

      2. Scrivi i tuoi termini

        Ripensa alle formule per trinomi quadrati perfetti. Sai che i tuoi fattori assumeranno la forma ( a
        + b
        ) ( a
        + b
        ) o la forma ( a
        - b
        ) ( a
        - b
        ), dove a
        e b
        sono i numeri essere al quadrato nel primo e terzo termine. Quindi puoi scrivere i tuoi fattori in questo modo, omettendo per ora i segni nel mezzo di ogni termine:

        ( a
        ? b
        ) ( a
        ? b
        ) \u003d a
        2? 2_ab_ + b
        2

        Per continuare l'esempio sostituendo le radici del tuo attuale trinomio, hai:

        ( x
        ? 4) ( x
        ? 4) \u003d x
        2 + 8_x_ + 16

      3. Esamina il termine intermedio

        Controlla il medio termine del trinomio. Ha un segno positivo o un segno negativo (o, per dirla in altro modo, viene aggiunto o sottratto)? Se ha un segno positivo (o viene aggiunto), entrambi i fattori del trinomio hanno un segno più nel mezzo. Se ha un segno negativo (o viene sottratto), entrambi i fattori hanno un segno negativo nel mezzo.

        Il termine medio del trinomio di esempio corrente è 8_x_ - è positivo - quindi ora hai considerato il trinomio quadrato perfetto:

        ( x
        + 4) ( x
        + 4) \u003d x
        2 + 8_x_ + 16

      4. Controlla il tuo lavoro

        Controlla il tuo lavoro moltiplicando i due fattori insieme. Applicando il FOIL o il primo, esterno, interno, ultimo metodo ti dà:

        x
        2 + 4_x_ + 4_x_ + 16

        Semplificando questo si ottiene il risultato < em> x
        2 + 8_x_ + 16, che corrisponde al tuo trinomio. Quindi i fattori sono corretti.

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