Rapporti e proporzioni sono strettamente collegati tra loro come concetti. Un rapporto indica la quantità di una quantità rispetto a un'altra quantità, mentre una proporzione indica che due rapporti sono uguali. Se stai bevendo da un concentrato con una parte di concentrato a cinque parti di acqua, il rapporto è 1: 5. Se produci la stessa bevanda in un rapporto di 2:10, le due bevande finite avranno la stessa forza di sapore. I due rapporti sono proporzionati. In altre parole, è possibile moltiplicare entrambe le parti di un rapporto per lo stesso numero per arrivare al secondo rapporto. Imparare a calcolare rapporti e proporzioni può aiutarti a risolvere molti problemi nella vita reale e nelle lezioni di matematica.

TL; DR (troppo lungo; non letto)

Calcola i problemi che coinvolgono i rapporti moltiplicando entrambe le parti con lo stesso numero per ridimensionare il rapporto verso l'alto o verso il basso. Per trasformare i rapporti in valori del mondo reale, trova una "parte" nel rapporto sommando i suoi due lati e dividendo la quantità totale del mondo reale per questo numero. Moltiplica il valore per una parte per entrambi i lati del rapporto per trovare il rapporto come una quantità del mondo reale.

Risolvi i problemi relativi alle proporzioni equiparando due rapporti e usando un simbolo algebrico al posto della quantità sconosciuta. Riorganizza l'equazione per trovare un'espressione per la quantità sconosciuta, quindi calcola il risultato per trovare la risposta.
Come calcolare i rapporti

Il calcolo dei rapporti comporta il ridimensionamento del rapporto (o la sua riduzione) o la traduzione del rapporto in quantità reali. I rapporti possono essere espressi in tre modi, separati da due punti (ad esempio 2: 1), separati dalla parola "a" (ad esempio da 2 a 1) o come una frazione (ad esempio 2/1), e tutti questi ti dicono le stesse informazioni.

Ridimensiona un rapporto verso l'alto o verso il basso moltiplicando o dividendo entrambe le parti del rapporto per lo stesso numero. Ad esempio, se una ricetta per pancake utilizza tre tazze di farina e due tazze di latte, gli ingredienti hanno un rapporto di 3: 2. Per preparare il doppio di frittelle senza rovinare la consistenza del mix, hai bisogno del doppio di entrambi gli ingredienti. Moltiplica entrambi i lati del rapporto per 2 per trovare il rapporto di cui hai bisogno:

3 × 2: 2 × 2 \u003d 6: 4

Prepara i pancake con sei parti di farina in due parti di acqua per ridimensionare la ricetta. Allo stesso modo, se stai usando una ricetta che serve sei, con un rapporto da 9 a 6, ma hai solo due persone, dividi entrambe le parti del rapporto per tre per trovare il rapporto che ti serve:

9 ÷ 3: 6 ÷ 3 \u003d 3: 2

Trasformare un rapporto in una quantità del mondo reale implica capire a cosa corrisponde “una parte” nella vita reale e quindi lavorare da lì. Ad esempio, immagina che due amici accettino di condividere $ 150 in premi in denaro nel rapporto 3: 2. Calcola osservando il numero totale di parti nel rapporto. In questo caso, 2 + 3 \u003d 5, quindi una parte è uguale a un quinto del denaro. Calcola $ 150 ÷ 5 \u003d $ 30 per trovare il valore reale di una parte. Da qui, moltiplica questa quantità per il numero di parti su ciascun lato del rapporto per scoprire come viene distribuito il denaro:

$ 30 × 3: $ 30 × 2 \u003d $ 90: $ 60

Quindi uno l'amico riceve $ 90 e l'altro riceve $ 60.
Come calcolare le proporzioni

Puoi anche risolvere i problemi di ridimensionamento usando la proporzionalità tra i rapporti. Ad esempio, se sono necessarie due uova per preparare 20 frittelle, quante uova sono necessarie per preparare 100 frittelle?

Si noti che i rapporti devono essere equivalenti (cioè in proporzione) affinché la ricetta possa opera. Per questo motivo, puoi scrivere il rapporto dato in modo proporzionale al secondo rapporto (inclusa la quantità sconosciuta di uova, che chiami x
). Il rapporto è:

Uova /frittelle

Questo deve essere uguale al rapporto per la porzione più grande, quindi puoi inserire i numeri che conosci e impostarli su uguali:

2/20 \u003d x
/100

Ruota questo in modo che la quantità sconosciuta sia a sinistra (solo per chiarezza; questo non influisce sulla matematica):

x

/100 \u003d 2/20

Risolvi questa equazione per x
per calcolare il numero di uova necessarie. Per fare ciò, moltiplichi la quantità nota sullo stesso lato di x
(in questo caso i 100 nel denominatore) per la quantità opposta sull'altro lato (in questo caso i 2 nel numeratore), altrimenti chiamato prendere un prodotto incrociato.

Nei termini più rigorosi delle regole dell'algebra, in realtà stai moltiplicando entrambi i lati dell'equazione per lo stesso numero. Qui, moltiplica entrambi i lati per 100:

( x
/100) × 100 \u003d (2/20) × 100

Poiché i 100 sulla sinistra si annullano , questo lascia:

x

\u003d 200/20

\u003d 10

Quindi questo significa che hai bisogno di 10 uova per fare 200 frittelle usando questa ricetta.
Il legame tra rapporti e proporzioni

Vale la pena sottolineare che rapporti e proporzioni forniscono informazioni molto simili. Il rapporto tra una quantità e l'altra può essere facilmente trasformato in una proporzione moltiplicando entrambe le parti del rapporto per lo stesso numero e impostando le due espressioni in modo che siano uguali. Per un rapporto di 4: 6, moltiplicando entrambe le parti per 2 si ottiene 8:12. Questi due rapporti sono equivalenti, quindi sono proporzionali e puoi scrivere:

4/6 \u003d 8/12

E il formato della frazione rende chiara questa proporzionalità. Se metti queste due frazioni sotto lo stesso comune denominatore, sono chiaramente equivalenti, perché:

4/6 \u003d 2/3 × 2/2 \u003d 2/3

E

8/12 \u003d 2/3 × 4/4 \u003d 2/3