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    Cosa sono le identità a mezzo angolo?

    Proprio come in algebra, quando inizi a imparare la trigonometria, accumulerai serie di formule utili per la risoluzione dei problemi. Uno di questi set sono le identità a metà angolo, che è possibile utilizzare per due scopi. Uno è convertire le funzioni trigonometriche di (θ /2) in funzioni in termini di più familiari (e più facilmente manipolabili) θ. L'altro è trovare il valore effettivo delle funzioni trigonometriche di θ, quando θ può essere espresso come metà di un angolo più familiare.
    Revisione delle identità a mezzo angolo

    Molti libri di testo di matematica elencano quattro metà principali -angolare le identità. Ma applicando un mix di algebra e trigonometria, queste equazioni possono essere massaggiate in un numero di forme utili. Non devi necessariamente memorizzare tutti questi (a meno che l'insegnante insista), ma almeno dovresti capire come usarli:

    Identità di mezzo angolo per seno -
    < li> sin (θ /2) \u003d ± √ [(1 - cosθ) /2]


    Identità di mezzo angolo per coseno

  • cos (θ /2) \u003d ± √ [(1 + cosθ) /2]


    Identità di mezzo angolo per tangente

  • tan (θ /2) \u003d ± √ [(1 - cosθ) /(1 + cosθ)]

  • tan (θ /2) \u003d sinθ /(1 + cosθ)

  • tan (θ /2) \u003d (1 - cosθ) /sinθ

  • tan (θ /2) \u003d cscθ - cotθ


    Identità a mezzo angolo per Cotangent

  • cot (θ /2) \u003d ± √ [(1 + cosθ) /(1 - cosθ)]

  • cot (θ /2) \u003d sinθ /(1 - cosθ )

  • cot (θ /2) \u003d (1 + cosθ) /sinθ

  • cot (θ /2) \u003d cscθ + cotθ


    Un esempio di utilizzo delle identità a mezzo angolo

    Quindi, come si usano le identità a mezzo angolo? Il primo passo è riconoscere che hai a che fare con un angolo che è la metà di un angolo più familiare.

    1. Trova θ

      immagina che ti venga chiesto di trovare il "sine of the angle 15 degrees.", 3, [[Questo non è uno degli angoli per cui la maggior parte degli studenti memorizzerà i valori delle funzioni di trigger. Ma se lasci 15 gradi uguali a θ /2 e poi risolvi per for, scoprirai che:

      θ /2 \u003d 15

      θ \u003d 30

      Poiché la risultante θ, 30 gradi, è un angolo più familiare, sarà utile utilizzare la formula del mezzo angolo qui.

    2. Scegli una formula a mezzo angolo

      Perché hai è stato chiesto di trovare il seno, c'è davvero solo una formula a mezzo angolo tra cui scegliere:

      sin (θ /2) \u003d ± √ [(1 - cosθ) /2]

      Sostituzione in θ /2 \u003d 15 gradi e θ \u003d 30 gradi ti dà:

      sin (15) \u003d ± √ [(1 - cos (30)) /2]

      Se avessi ti è stato chiesto di trovare la tangente o cotangente, entrambe le quali moltiplicano per metà i modi di esprimere la loro identità a metà angolo, sceglieresti semplicemente la versione che sembrava più facile da lavorare.

    3. Risolvi il segno ±

      Il segno ± all'inizio di alcune identità di mezzo angolo indica che la radice in questione potrebbe essere positiva o negativa. Puoi risolvere questa ambiguità usando la tua conoscenza delle funzioni trigonometriche nei quadranti. Ecco un breve riepilogo di quali funzioni del trigono restituiscono valori positivi
      in cui quadranti:

    4. Quadrante I: tutte le funzioni del trigono

    5. Quadrante II: solo seno e cosecante
    6. Quadrante III: solo tangente e cotangente
    7. Quadrante IV: solo coseno e secante

      Perché in questo caso il tuo angolo θ rappresenta 30 gradi, che cade nel quadrante I, sai che il valore sinusoidale che restituisce sarà positivo. Quindi puoi rilasciare il segno ± e valutare semplicemente:

      sin (15) \u003d √ [(1 - cos (30)) /2]

    8. Sostituisci i valori familiari

      Sostituisci il valore noto e familiare di cos (30). In questo caso, utilizzare i valori esatti (in contrapposizione alle approssimazioni decimali di un grafico):

      sin (15) \u003d √ [(1 - √3 /2) /2]

    9. Semplifica La tua equazione

      Quindi, semplifica la parte destra della tua equazione per trovare un valore per sin (15). Inizia moltiplicando l'espressione sotto il radicale per 2/2, che ti dà:

      sin (15) \u003d √ [2 (1 - √3 /2) /4]

      Questo semplifica a:

      sin (15) \u003d √ [(2 - √3) /4]

      Puoi quindi fattorizzare la radice quadrata di 4:

      sin (15 ) \u003d (1/2) √ (2 - √3)

      Nella maggior parte dei casi, ciò riguarda la semplificazione. Anche se il risultato potrebbe non essere terribilmente carino, hai tradotto il seno di un angolo sconosciuto in una quantità esatta.

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