Tutti gli studenti di matematica e molti studenti di scienze incontrano polinomi ad un certo punto durante i loro studi, ma per fortuna sono facili da affrontare una volta apprese le basi. Le operazioni principali che devi fare con le espressioni polinomiali sono l'aggiunta, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione e mentre la divisione può essere complessa, la maggior parte delle volte sarai in grado di gestire le basi con facilità.
Polinomi: definizione ed esempi

Il polinomio descrive un'espressione algebrica con uno o più termini che coinvolgono una variabile (o più di una), con esponenti e possibilmente costanti. Non possono includere la divisione per variabile, non possono avere esponenti negativi o frazionari e devono avere un numero finito di termini.

Questo esempio mostra un polinomio:

x

<sup>3 + 2 x
2 - 9 x
- 4</sup>

E questo mostra un altro:

xy

<sup>2 - 3 x
+ y</sup>

Esistono molti modi per classificare polinomi, incluso per grado (la somma degli esponenti sul termine di massima potenza, ad esempio 3 nel primo esempio) e per il numero di termini che contengono, come monomi (un termine), binomi (due termini) e trinomi (tre termini.

Aggiungere e sottrarre polinomi

L'aggiunta e la sottrazione di polinomi dipende dalla combinazione di termini "simili". Un termine simile è uno con le stesse variabili ed esponenti di un altro, ma il numero per cui vengono moltiplicati (il coefficiente) può essere diverso. Ad esempio, x
^{2 e 4 x
2 sono termini simili perché hanno la stessa variabile ed esponente e 2 xy
4 e 6 xy
4 sono anche termini simili. Tuttavia, x
2, x
3, x
2 y
2 e < em> y
2 non sono termini simili, perché ognuno contiene diverse combinazioni di variabili ed esponenti.}

Aggiungi polinomi combinando termini simili nello stesso modo in cui lo faresti con altri termini algebrici. Ad esempio, osserva il problema:

( x
<sup>3 + 3 x
) + (9 x
3 + 2 x
+ y
)</sup>

Raccogli i termini simili per ottenere:

( x
<sup>3 + 9 x
3) + (3 x
+ 2 x
) + y</sup>

E quindi valuta semplicemente sommando i coefficienti e combinando in un unico termine:

10 x
<sup>3 + 5 x
+ y</sup>

Nota che non puoi fare nulla con y
perché non ha un termine simile.

La sottrazione funziona allo stesso modo:

(4 x
^{4 + 3 y
2 + 6 y
) - (2 x
4 + 2 y
2 + y
)}

Per prima cosa, nota che tutti i termini nella parentesi destra vengono sottratti da quelli nella parentesi sinistra, quindi scrivilo come :

4 x
<sup>4 + 3 y
2 + 6 y
- 2 x
4 - 2 y
2− y</sup>

Combina termini simili e valuta per ottenere:

(4 x
4 - 2 x
<sup>4) + (3 y
2 - 2 y
2) + (6 y
- y
)</sup>

\u003d 2 x
^{4 + y
2 + 5 y}

Per un problema come questo:

(4 xy
+ x
<sup>2) - (6 xy
- 3 x
2)</sup>

Nota che il segno meno viene applicato all'intera espressione nella parentesi destra, quindi i due segni negativi prima di 3_x_ ^{2 diventa un segno di aggiunta:}

(4 xy
+ x
<sup>2) - (6 xy
- 3 x
2) \u003d 4 xy
+ x
2 - 6 xy
+ 3 x
2</sup>

Quindi calcola come prima.
Moltiplicando le espressioni polinomiali

Moltiplica le espressioni polinomiali usando la proprietà distributiva della moltiplicazione. In breve, moltiplica ogni termine nel primo polinomio per ogni termine nel secondo. Guarda questo semplice esempio:

4 x
× (2 x
^{2 + y
)}

Tu risolvilo usando la proprietà distributiva, quindi:

4 x
× (2 x
^{2 + y
) \u003d (4 < em> x
× 2 x
2) + (4 x
× y
)}

\u003d 8 x
^{3 + 4 xy}

Affronta i problemi più complicati allo stesso modo:

(2 y
^{3 + 3 x
) × (5 x
2 + 2 x
)}

\u003d (2 y
^{3 × (5 x
2 + 2 x
)) + (3 x
× (5 x
2 + 2 x
))}

\u003d (2 y
^{3 × 5 x
2) + (2 y
3 × 2 x
) + (3 x
× 5 x
2) + (3 x
× 2 x
)}

\u003d 10 y
<sup>3 x
2 + 4 < em> y
3 x
+ 15 x
3 + 6 x
2</sup>

Questi i problemi possono complicarsi per gruppi più grandi, ma il processo di base è sempre lo stesso.
Divisione del polinomio E xpressions

La divisione delle espressioni polinomiali richiede più tempo, ma puoi affrontarla a passi. Guarda l'espressione:

( x
<sup>2 - 3 x
- 10) /( x
+ 2)</sup>

Per prima cosa, scrivi l'espressione come una lunga divisione, con il divisore a sinistra e il dividendo a destra:

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

Dividi il primo termine nel dividendo per il primo termine nel divisore e metti il risultato sulla riga sopra il divisione. In questo caso, x
^{2 ÷ x
\u003d x
, quindi:}

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

Moltiplica questo risultato per l'intero divisore, quindi in questo caso ( x
+ 2) × x
\u003d x
^{2 + 2 < em> x
. Inserisci questo risultato sotto la divisione:}

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

Sottrai il risultato sulla nuova riga dai termini direttamente sopra di essa (nota che tecnicamente cambi il segno, quindi se avessi un risultato negativo lo aggiungeresti invece) e mettilo su una riga sotto di esso. Sposta anche il termine finale dal dividendo originale in basso.

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

Ora ripeti il processo con il divisore e il nuovo polinomio nella riga inferiore. Quindi dividi il primo termine del divisore ( x
) per il primo termine del dividendo (−5 x
) e mettilo sopra:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

Moltiplica questo risultato (−5 x
÷ x
\u003d −5) per il divisore originale (quindi (< em> x
+ 2) × −5 \u003d −5 x
−10) e inserisci il risultato su una nuova linea di fondo:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0-5 x
- 10

−5 x
- 10

Quindi sottrarre la riga inferiore dalla successiva in alto (quindi in questo caso cambia il segno e aggiungi) e inserisci il risultato su una nuova riga di fondo:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0-5 x
- 10

−5 x
- 10

0 0

Dato che ora c'è una fila di zeri in fondo, il processo è finito. Se rimanessero termini diversi da zero, ripetere nuovamente il processo. Il risultato è nella riga superiore, quindi:

( x
<sup>2 - 3 x
- 10) /( x
+ 2) \u003d x
- 5</sup>

Questa divisione e alcune altre possono essere risolte più semplicemente se puoi fattorizzare il polinomio nel dividendo.