Immagina di equipaggiare un cannone, con l'obiettivo di abbattere le mura di un castello nemico in modo che il tuo esercito possa entrare e rivendicare la vittoria. Se sai quanto velocemente viaggia la palla quando lascia il cannone e sai quanto sono lontani i muri, a quale angolo di lancio devi sparare per colpire con successo i muri?

Questo è un esempio di un problema di movimento del proiettile, e puoi risolvere questo e molti altri problemi simili usando le equazioni di accelerazione costante della cinematica e dell'algebra di base.

Il movimento del proiettile
è il modo in cui i fisici descrivono il movimento bidimensionale dove l'unica accelerazione sperimentata dall'oggetto in questione è la costante accelerazione verso il basso dovuta alla gravità.

Sulla superficie terrestre, l'accelerazione costante a
è uguale a g
\u003d 9,8 m /s ^{2, e un oggetto sottoposto a movimento proiettile è in caduta libera
con questa come unica fonte di accelerazione. Nella maggior parte dei casi, prenderà il percorso di una parabola, quindi il movimento avrà una componente sia orizzontale che verticale. Sebbene avrebbe un effetto (limitato) nella vita reale, per fortuna la maggior parte dei problemi di movimento dei proiettili della fisica delle scuole superiori ignora l'effetto della resistenza dell'aria.}

Puoi risolvere i problemi di movimento dei proiettili usando il valore di g
e alcune altre informazioni di base sulla situazione attuale, come la velocità iniziale del proiettile e la direzione in cui viaggia. Imparare a risolvere questi problemi è essenziale per superare la maggior parte delle lezioni di fisica introduttiva e ti introduce ai concetti e alle tecniche più importanti di cui avrai bisogno anche nei corsi successivi.
Equazioni di movimento dei proiettili

Le equazioni per i proiettili il movimento sono le equazioni di accelerazione costante della cinematica, perché l'accelerazione di gravità è l'unica fonte di accelerazione che è necessario considerare. Le quattro equazioni principali necessarie per risolvere qualsiasi problema di movimento del proiettile sono:
v \u003d v_0 + at \\\\ s \u003d \\ bigg (\\ frac {v + v_0} {2} \\ bigg) t \\\\ s \u003d v_0t + \\ frac {1} {2} at ^ 2 \\\\ v ^ 2 \u003d v_0 ^ 2 + 2as

Qui v
sta per speed, v
_{0 è la velocità iniziale, a
è l'accelerazione (che è uguale all'accelerazione verso il basso di g
in tutti i problemi di movimento del proiettile), s
è lo spostamento (dal posizione iniziale) e come sempre hai tempo, t
.}

Queste equazioni tecnicamente sono solo per una dimensione, e in realtà potrebbero essere rappresentate da quantità vettoriali (compresa la velocità v
, velocità iniziale v
_{0 e così via), ma in pratica puoi semplicemente usare queste versioni separatamente, una volta nella x
-direzione e una volta nella y
-direction (e se hai mai avuto un problema tridimensionale, anche nella z
-direction).}

È importante ricordare che questi sono usati solo per costanti accelerazione, che li rende pe perfetto per descrivere situazioni in cui l'influenza della gravità è l'unica accelerazione, ma inadatta per molte situazioni del mondo reale in cui è necessario considerare forze aggiuntive.

Per situazioni di base, questo è tutto ciò che serve per descrivere movimento di un oggetto, ma se necessario, è possibile incorporare altri fattori, come l'altezza da cui è stato lanciato il proiettile o addirittura risolverli per il punto più alto del proiettile sul suo percorso.
Risoluzione dei problemi di movimento dei proiettili

Ora che hai visto le quattro versioni della formula di movimento del proiettile che dovrai usare per risolvere i problemi, puoi iniziare a pensare alla strategia che usi per risolvere un problema di movimento del proiettile.

L'approccio di base è di dividere il problema in due parti: una per il movimento orizzontale e una per il movimento verticale. Questo è tecnicamente chiamato componente orizzontale e componente verticale, e ognuno ha un corrispondente set di quantità, come la velocità orizzontale, la velocità verticale, lo spostamento orizzontale, lo spostamento verticale e così via.

Con questo approccio, puoi usa le equazioni cinematiche, osservando che il tempo t
è lo stesso sia per i componenti orizzontali che verticali, ma cose come la velocità iniziale avranno componenti diversi per la velocità verticale iniziale e la velocità orizzontale iniziale.

La cosa cruciale da capire è che per il movimento bidimensionale, qualsiasi angolo di movimento può essere suddiviso in un componente orizzontale e un componente verticale, ma quando lo fai ci sarà una versione orizzontale di l'equazione in questione e una versione verticale.

Trascurare gli effetti della resistenza dell'aria semplifica enormemente i problemi di movimento del proiettile perché la direzione orizzontale non ha mai alcuna accelerazione in un movimento del proiettile (libero caduta), poiché l'influenza della gravità agisce solo verticalmente (cioè verso la superficie della Terra).

Ciò significa che la componente della velocità orizzontale è solo una velocità costante e il movimento si ferma solo quando la gravità porta il proiettile fino al livello del suolo. Questo può essere usato per determinare il tempo di volo, perché dipende interamente dal movimento y
-direction e può essere elaborato interamente in base allo spostamento verticale (cioè, il tempo t
quando lo spostamento verticale è zero indica il tempo del volo.

[inserire diagrammi ed esempi]
Trigonometria nei problemi di movimento del proiettile

Se il problema in questione ti dà un angolo di lancio e una velocità iniziale, dovrai usare la trigonometria per trovare i componenti della velocità orizzontale e verticale. Una volta fatto questo, puoi usare i metodi descritti nella sezione precedente per risolvere effettivamente il problema.

In sostanza, crei un triangolo rettangolo con l'ipotenusa inclinata all'angolo di lancio ( θ
) e l'entità della velocità come lunghezza, quindi il lato adiacente è la componente orizzontale della velocità e il lato opposto è la velocità verticale.

Disegna il triangolo rettangolo come indicato e vedrai che trovi i componenti orizzontali e verticali usando le identità trigonometriche:
\\ text {cos} \\; θ \u003d \\ frac {\\ text {adiacente}} {\\ text {hypotenuse}} \\ text {sin} \\; θ \u003d \\ frac {\\ text {opposite}} {\\ text {hypotenuse}}

Quindi questi possono essere riorganizzati (e con contrario \u003d v
_{y e adiacente \u003d v
x, ovvero rispettivamente la componente di velocità verticale e le componenti di velocità orizzontale e ipotenusa \u003d v
0, la velocità iniziale) per fornire:
v_x \u003d v_0 cos (θ) \\\\ v_y \u003d v_0 sin (θ)}

[inserisci diagramma]

Questa è tutta la trigonometria che dovrai fare per affrontare i problemi di movimento del proiettile: collegare l'angolo di lancio nel equazione, utilizzando le funzioni seno e coseno sulla calcolatrice e moltiplicando il risultato per la velocità iniziale del proiettile.

Quindi, per fare un esempio di ciò, con una velocità iniziale di 20 m /se una angolo di lancio di 60 gradi, i componenti sono:
\\ begin {align} v_x &\u003d 20 \\; \\ text {m /s} × \\ cos (60) \\\\ &\u003d 10 \\; \\ text {m /s } \\\\ v_y &\u003d 20 \\; \\ text {m /s} × \\ sin (60) \\\\ &\u003d 17.32 \\; \\ text {m /s} \\ end {allineato} Esempio di problema di movimento del proiettile: un fuoco d'artificio che esplode < ine un fuoco d'artificio ha una miccia progettata per esplodere nel punto più alto della sua traiettoria, e viene lanciata con una velocità iniziale di 60 m /s con un angolo di 70 gradi rispetto all'orizzontale.

Come vorresti capire a quale altezza h
esplode? E quale sarebbe il tempo dal lancio quando esplode?

Questo è uno dei molti problemi che coinvolgono l'altezza massima di un proiettile e il trucco per risolverli è notare che alla massima altezza, il < em> y
-componente della velocità è 0 m /s per un istante. Inserendo questo valore per v
_{y e scegliendo la più appropriata delle equazioni cinematiche, puoi affrontare facilmente questo e qualsiasi problema simile.}

Innanzitutto, guardando le equazioni cinematiche , questo salta fuori (con gli indici aggiunti per mostrare che stiamo lavorando nella direzione verticale):
v_y ^ 2 \u003d v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y

Questa equazione è ideale perché conosci già l'accelerazione ( a
_{y \u003d - g
), la velocità iniziale e l'angolo di lancio (in modo da poter calcolare la componente verticale v
y0) . Poiché stiamo cercando il valore di s
y (ovvero l'altezza h
) quando v
y \u003d 0, possiamo sostituire zero per il componente di velocità verticale finale e riorganizzare s
y:
0 \u003d v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y −2a_ys_y \u003d v_ {0y} ^ 2 s_y \u003d \\ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}}

Poiché ha senso chiamare la direzione verso l'alto y
, e poiché l'accelerazione dovuta alla gravità g
è diretta verso il basso (ovvero, nella direzione - y
), possiamo cambiare a
_{y per - g
. Infine, chiamando s
y l'altezza h
, possiamo scrivere:
h \u003d \\ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}}

Quindi l'unica cosa che devi risolvere per risolvere il problema è la componente verticale della velocità iniziale, che puoi fare usando l'approccio trigonometrico della sezione precedente. Quindi, con le informazioni dalla domanda (60 m /se 70 gradi rispetto al lancio orizzontale), questo dà:
\\ begin {allineato} v_ {0y} &\u003d 60 \\; \\ text {m /s} × \\ sin (70) \\\\ &\u003d 56.38 \\; \\ text {m /s} \\ end {align}

Ora puoi risolvere l'altezza massima:
\\ begin {align} h &\u003d \\ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\\\ &\u003d \\ frac {(56.38 \\; \\ text {m /s}) ^ 2} {2 × 9.8 \\; \\ text {m /s} ^ 2} \\\\ &\u003d 162.19 \\ text {m} \\ end {align}

Quindi i fuochi d'artificio esploderanno a circa 162 metri da terra.
Continua l'esempio: tempo di volo e distanza percorsa

Dopo aver risolto il basi del problema del moto proiettile basato esclusivamente sul movimento verticale, il resto del problema può essere risolto facilmente. Prima di tutto, il tempo dal lancio dell'esplosione del fusibile può essere trovato usando una delle altre equazioni di accelerazione costante. Osservando le opzioni, la seguente espressione:
s_y \u003d \\ bigg (\\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \\ bigg) t \\\\

ha il tempo t
, "which is what you want to know;", 3, [[lo spostamento, che conosci per il punto massimo del volo; e la velocità al momento dell'altezza massima (che sappiamo essere zero). Quindi, in base a questo, l'equazione può essere riorganizzata per dare un'espressione al momento del volo:
s_y \u003d \\ bigg (\\ frac {v_ {0y}} {2} \\ bigg) t \\\\ t \u003d \\ frac {2s_y} {v_ {0y}}

Quindi, inserendo i valori e risolvendo t
, si ottiene:
\\ begin {allineato} t &\u003d \\ frac {2 × 162.19 \\; \\ text {m}} {56.38 \\; \\ text {m /s}} \\\\ &\u003d 5.75 \\; \\ text {s} \\ end {align}

Quindi i fuochi d'artificio esploderanno 5,75 secondi dopo il lancio.

Infine, puoi facilmente determinare la distanza orizzontale percorsa in base alla prima equazione, che (in direzione orizzontale) afferma:
v_x \u003d v_ {0x} + a_xt

Tuttavia, osservando che non vi è accelerazione nella x
-direzione, questo è semplicemente:
v_x \u003d v_ {0x}

Significa che la velocità nella direzione x
è la stessa per tutto il viaggio del fuoco d'artificio. Dato che v
\u003d d
/ t
, dove d
è la distanza percorsa, è facile vedere che d
\u003d vt
, e così in questo caso (con s
_{x \u003d d
):
s_x \u003d v_ {0x} t}

Quindi puoi sostituire v
_{0x con l'espressione trigonometrica di prima, inserisci i valori e risolvi:
\\ begin {align} s_x &\u003d v_0 \\ cos (θ) t \\\\ &\u003d 60 \\; \\ text {m /s} × \\ cos (70) × 5,75 \\; \\ text {s} \\\\ &\u003d 118 \\; \\ text {m} \\ end {align}}

Quindi viaggerà circa 118 m prima dell'esplosione.
Problema di movimento del proiettile aggiuntivo: il fuoco d'artificio Dud

Per un ulteriore problema su cui lavorare, immagina il fuoco d'artificio dell'esempio precedente (velocità iniziale di 60 m /s lanciata a 70 gradi rispetto all'orizzontale) non è riuscito a esplodere al culmine della sua parabola, e invece atterra in terra inesplosa. Puoi calcolare il tempo totale di volo in questo caso? Quanto lontano atterrerà il sito di lancio in direzione orizzontale, o in altre parole, qual è la gamma
del proiettile?

Questo problema funziona sostanzialmente nello stesso modo, dove le componenti verticali di velocità e spostamento sono le cose principali che devi considerare per determinare il tempo di volo, e da ciò puoi determinare la portata. Anziché elaborare la soluzione in dettaglio, è possibile risolverlo da soli in base all'esempio precedente.

Esistono formule per l'intervallo di un proiettile, che è possibile cercare o derivare dalle equazioni di accelerazione costante, ma questo non è davvero necessario perché conosci già l'altezza massima del proiettile, e da questo punto è solo in caduta libera sotto l'effetto della gravità.

Ciò significa che puoi determinare il tempo impiegato dal fuoco d'artificio per cadere di nuovo a terra, quindi aggiungilo al tempo di volo all'altezza massima per determinare il tempo di volo totale. Da allora, è lo stesso processo di utilizzo della velocità costante in direzione orizzontale insieme al tempo di volo per determinare la portata.

Mostra che il tempo di volo è di 11,5 secondi e la portata di 236 m, notando che dovrai calcolare la componente verticale della velocità nel punto in cui colpisce il terreno come un passo intermedio.