Puoi rappresentare qualsiasi linea che puoi rappresentare graficamente su un asse x-y bidimensionale mediante un'equazione lineare. Una delle espressioni algebriche più semplici, un'equazione lineare è quella che mette in relazione la prima potenza di x con la prima potenza di y. Un'equazione lineare può assumere una delle tre forme: la forma del punto di inclinazione, la forma di intercettazione dell'inclinazione e la forma standard. È possibile scrivere il modulo standard in due modi equivalenti. Il primo è:

Ax + By + C \u003d 0

dove A, B e C sono costanti. Il secondo modo è:

Ax + By \u003d C

Nota che si tratta di espressioni generalizzate e che le costanti nella seconda espressione non sono necessariamente le stesse di quelle nella prima. Se vuoi convertire la prima espressione nella seconda per valori particolari di A, B e C, dovresti scrivere Ax + By \u003d -C.
Derivazione del modulo standard per un'equazione lineare

Un'equazione lineare definisce una linea sull'asse xy. Scegliendo due punti qualsiasi sulla linea, (x _{1, y 1) e (x 2, y 2), è possibile calcolare la pendenza della linea (m). Per definizione, è il "rialzo durante la corsa" o il cambiamento nella coordinata y diviso per il cambiamento nella coordinata x.}

m \u003d ∆y /∆x \u003d (y _{2 - y 1) /x 2 - x 1)}

Ora sia (x _{1, y 1) un punto particolare (a, b ) e lasciare (x 2, y 2) non definiti, ovvero tutti i valori di xey. L'espressione per la pendenza diventa}

m \u003d (y - b) /(x - a), che si semplifica in

m (x - a) \u003d y - b

Questa è la forma del punto di pendenza della linea. Se invece di (a, b) scegli il punto (0, b), questa equazione diventa mx \u003d y - b. La riorganizzazione per mettere y da sola sul lato sinistro ti dà la forma di intercettazione della linea della pendenza:

y \u003d mx + b

La pendenza è di solito un numero frazionario, quindi lascia che sia uguale a (-A) /B). È quindi possibile convertire questa espressione nella forma standard per una linea spostando il termine xe la costante sul lato sinistro e semplificando:

Ax + By \u003d C, dove C \u003d Bb o

Ax + By + C \u003d 0, dove C \u003d -Bb
Esempio 1

Converti in forma standard: y \u003d 3 /4x + 2

1. Moltiplica entrambi i lati per 4
   
   

   4y \u003d 3x + 2
   

2. Sottrai 3x da entrambi i lati
   
   

   4y - 3x \u003d 2
   

3. Moltiplica per -1 a Rendi positivo il termine x
   
   

   3x - 4y \u003d 2
   

   Questa equazione è in forma standard. A \u003d 3, B \u003d -2 e C \u003d 2
   
   Esempio 2
   

   Trova l'equazione del modulo standard della linea che passa attraverso i punti (-3, -2) e (1, 4).
   

   1. Trova la pendenza
      
      

      m \u003d (y _{2 - y 1) /x 2 - x 1) \u003d [1 - (-3)] /[4 - 2] \u003d 4/2}
      

      m \u003d 2
      

   2. Trova modulo punto pendenza usando la pendenza e uno dei punti
      
      

      La forma generica del punto di pendenza è m (x - a) \u003d y - b. Se si utilizza il punto (1, 4), diventa
      

      2 (x - 1) \u003d y - 4
      

   3. Semplifica
      
      

      2x - 2 - y + 4 \u003d 0
      

      2x - y + 2 \u003d 0
      

      Questa equazione è in forma standard Ax + By + C \u003d 0 dove A \u003d 2, B \u003d -1 e C \u003d 2