Questa visione parziale dell'insieme di Mandelbrot, forse il frattale più famoso del mondo, mostra il quarto passaggio di una sequenza di zoom:Anche l'estremità centrale della "coda di cavalluccio marino" è un punto di Misiurewicz. Wolfgang Beyer/(CC BY-SA 3.0) I frattali sono un paradosso. Incredibilmente semplice, eppure infinitamente complesso. Nuovo, ma più vecchio della sporcizia. Cosa sono i frattali? Da dove provengono? Perchè dovrebbe interessarmi?
Il matematico non convenzionale del XX secolo Benoit Mandelbrot ha creato il termine frattale dalla parola latina frattura (che significa irregolare o frammentato) nel 1975. Queste forme irregolari e frammentate sono tutt'intorno a noi. Nella loro forma più elementare, i frattali sono un'espressione visiva di uno schema ripetuto o di una formula che inizia in modo semplice e diventa progressivamente più complesso.
Una delle prime applicazioni dei frattali è nata molto prima che il termine fosse usato. Lewis Fry Richardson era un matematico inglese all'inizio del XX secolo che studiava la lunghezza della costa inglese. Ha ragionato che la lunghezza di una costa dipende dalla lunghezza dello strumento di misurazione. Misura con un metro, ottieni un numero, ma misura con un righello più dettagliato lungo un piede, che tiene maggiormente conto dell'irregolarità del litorale, e ottieni un numero maggiore, e così via.
Portalo alla sua logica conclusione e ti ritroverai con una costa infinitamente lunga contenente uno spazio finito, lo stesso paradosso proposto da Helge von Koch nel Koch Snowflake. Questo frattale consiste nel prendere un triangolo e trasformare il terzo centrale di ogni segmento in una protuberanza triangolare in modo da rendere il frattale simmetrico. Ogni urto è, Certo, più lungo del segmento originale, eppure contiene ancora lo spazio finito all'interno.
Strano, ma piuttosto che convergere su un numero particolare, il perimetro si sposta verso l'infinito. Mandelbrot lo vide e usò questo esempio per esplorare il concetto di dimensione frattale, lungo la strada dimostrando che misurare una costa è un esercizio di approssimazione [fonte:NOVA].
Se i frattali sono stati davvero in giro per tutto questo tempo, perché ne abbiamo sentito parlare solo negli ultimi 40 anni o giù di lì?
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Nell'insieme di Mandelbrot, i punti che rimangono finiti per tutte le iterazioni sono mostrati in bianco; i valori divergenti all'infinito sono mostrati più scuri. Enciclopedia Britannica/Collaboratore/Getty Images Prima di entrare in ulteriori dettagli, abbiamo bisogno di coprire una terminologia di base che ti aiuterà a capire le qualità uniche che possiedono i frattali.
Tutti i frattali mostrano un grado di ciò che viene chiamato auto-somiglianza . Ciò significa che se guardi sempre più da vicino nei dettagli di un frattale, puoi vedere una replica del tutto. Una felce è un classico esempio. Guarda tutta la fronda. Vedi i rami che escono dal fusto principale? Ciascuno di quei rami sembra simile all'intera fronda. Sono auto-simile all'originale, solo su scala ridotta.
Questi modelli auto-simili sono il risultato di una semplice equazione, o affermazione matematica. I frattali vengono creati ripetendo questa equazione attraverso un ciclo di feedback in un processo chiamato iterazione , dove i risultati di un'iterazione formano il valore di input per la successiva. Per esempio, se guardi l'interno di una conchiglia di nautilus, vedrai che ogni camera del guscio è fondamentalmente una copia carbone della camera precedente, appena più piccoli mentre li tracciate dall'esterno all'interno.
I frattali sono anche ricorsivo, indipendentemente dalla scala. Sei mai entrato nel camerino di un negozio e ti sei ritrovato circondato da specchi? Per il meglio o il peggio, stai guardando un'immagine infinitamente ricorsiva di te stesso.
Finalmente, una nota sulla geometria. La maggior parte di noi è cresciuta imparando quella lunghezza, larghezza e altezza sono le tre dimensioni, e questo è quello. La geometria frattale lancia questo concetto una curva creando forme irregolari in dimensione frattale ; la dimensione frattale di una forma è un modo per misurare la complessità di quella forma.
Ora prendi tutto questo, e possiamo chiaramente vedere che a frattale puro è una forma geometrica che è autosimilare attraverso infinite iterazioni in uno schema ricorsivo e attraverso infiniti dettagli. Semplice, Giusto? Non preoccuparti, esamineremo tutti i pezzi abbastanza presto.
Katsushika Hokusai utilizzò il concetto frattale di autosomiglianza nel suo dipinto "La grande onda di Kanagawa" all'inizio del 1800. Dominio pubblico Quando la maggior parte delle persone pensa ai frattali, pensano spesso al più famoso di tutti, l'insieme di Mandelbrot. Prende il nome dal matematico Benoit Mandelbrot, è diventato praticamente sinonimo del concetto di frattali. Ma è ben lungi dall'essere l'unico frattale in città.
Abbiamo menzionato prima la felce, che rappresenta uno dei frattali semplici e limitati della natura. I frattali limitati non durano all'infinito; mostrano solo poche iterazioni di forme congruenti. Anche i frattali semplici e limitati non sono esatti nella loro autosomiglianza:i volantini di una felce potrebbero non imitare perfettamente la forma della fronda più grande. La spirale di una conchiglia e i cristalli di un fiocco di neve sono altri due esempi classici di questo tipo di frattale che si trovano nel mondo naturale. Pur non essendo matematicamente esatto, hanno ancora una natura frattale.
I primi artisti africani e navajo notarono la bellezza di questi schemi ricorsivi e cercarono di emularli in molti aspetti della loro vita quotidiana, tra cui arte e urbanistica [fonti:Eglash, Balle]. Come in natura, il numero di iterazioni ricorsive di ciascun pattern era limitato dalla scala del materiale con cui stavano lavorando.
Anche Leonardo da Vinci vide questo motivo nei rami degli alberi, man mano che i rami degli alberi crescevano e si dividevano in più rami [fonte:Da Vinci]. Nel 1820, L'artista giapponese Katsushika Hokusai ha creato "La grande onda al largo di Kanagawa, "un rendering colorato di una grande onda oceanica in cui la parte superiore si rompe in onde sempre più piccole (autosimili) [fonte:NOVA].
Alla fine anche i matematici si sono messi in gioco. Gaston Julia ha ideato l'idea di utilizzare un ciclo di feedback per produrre uno schema ripetitivo all'inizio del XX secolo. Georg Cantor sperimentò le proprietà degli insiemi ricorsivi e autosimili negli anni 1880, e nel 1904 Helge von Koch pubblicò il concetto di curva infinita, utilizzando all'incirca la stessa tecnica ma con una linea continua. Ed ovviamente, abbiamo già menzionato Lewis Richardson che esplora l'idea di Koch mentre cerca di misurare le coste inglesi.
Queste esplorazioni in una matematica così complessa erano per lo più teoriche, però. All'epoca mancava una macchina in grado di eseguire il duro lavoro di tanti calcoli matematici in un ragionevole lasso di tempo per scoprire dove queste idee portassero veramente. Con l'evolversi della potenza dei computer, lo stesso valeva per la capacità dei matematici di testare queste teorie.
Nella sezione successiva, esamineremo la matematica dietro la geometria frattale.
Un frattale dell'insieme di Julia è il confine dell'insieme compilato (l'insieme dei "punti eccezionali"). Esistono due tipi di insiemi di Julia:insiemi connessi (insieme di Fatou) e insiemi di Cantor (polvere di Fatou). Enciclopedia Britannica/UIG Via Getty Images Pensiamo che le montagne e altri oggetti nel mondo reale abbiano tre dimensioni. Nella geometria euclidea assegniamo valori alla lunghezza di un oggetto, altezza e larghezza, e calcoliamo attributi come area, volume e circonferenza in base a tali valori. Ma la maggior parte degli oggetti non sono uniformi; montagne, Per esempio, hanno bordi frastagliati. La geometria frattale ci consente di definire e misurare in modo più accurato la complessità di una forma quantificando quanto sia ruvida la sua superficie. I bordi frastagliati di quella montagna possono essere espressi matematicamente:inserisci la dimensione frattale, che per definizione è maggiore o uguale alla dimensione euclidea (o topologica) di un oggetto (D => D T ).
Un modo relativamente semplice per misurare questo è chiamato il metodo del conteggio delle scatole (o Minkowski-Bouligand Dimension). Per provarlo, posizionare un frattale su un pezzo di carta a griglia. Più grande è il frattale e più dettagliata è la carta della griglia, più accurato sarà il calcolo delle dimensioni.
D =log N / log (1/h)
In questa formula, D è la dimensione, n è il numero di riquadri della griglia che contengono una parte del frattale all'interno, e h è il numero di blocchi della griglia su cui i frattali si estendono sulla carta millimetrata. Però, mentre questo metodo è semplice e accessibile, non è sempre il più preciso.
Uno dei metodi più standard per misurare i frattali è usare la dimensione di Hausdorff, che è D =log N / log s, dove n è il numero di parti che un frattale produce da ciascun segmento, e S è la dimensione di ogni nuova parte rispetto al segmento originale. sembra semplice, ma a seconda del frattale, questo può complicarsi abbastanza rapidamente.
Puoi produrre un'infinita varietà di frattali semplicemente modificando alcune delle condizioni iniziali di un'equazione; è qui che entra in gioco la teoria del caos. In superficie, la teoria del caos suona come qualcosa di completamente imprevedibile, ma la geometria frattale consiste nel trovare l'ordine in ciò che inizialmente sembra essere caotico. Inizia a contare la moltitudine di modi in cui puoi modificare quelle condizioni iniziali dell'equazione e capirai rapidamente perché ci sono un numero infinito di frattali.
Tuttavia, non pulirai il pavimento con la spugna Menger, quindi a che servono comunque i frattali?
Frattali famosi e loro tipiAlcuni frattali iniziano con un segmento o una struttura di linea di base e si aggiungono ad esso. Una curva del drago è fatta in questo modo. Altri sono riduttivi, iniziando come una forma solida e sottraendola ripetutamente. Il triangolo di Sierpinski e la spugna di Menger sono entrambi in quel gruppo. Frattali più caotici formano un terzo gruppo, creato utilizzando formule relativamente semplici e rappresentandole graficamente milioni di volte su una griglia cartesiana o su un piano complesso. Il set di Mandelbrot è la rockstar di questo gruppo, ma anche gli Strange Attractors sono piuttosto belli. Queste immagini sono tutte espressioni di formule matematiche.
Dopo che Mandelbrot pubblicò il suo lavoro seminale nel 1975 sui frattali, uno dei primi utilizzi pratici avvenne nel 1978 quando Loren Carpenter voleva realizzare delle montagne generate al computer. Usando frattali che iniziano con triangoli, ha creato una catena montuosa incredibilmente realistica [fonte:NOVA].
Negli anni '90 Nathan Cohen si ispirò al Koch Snowflake per creare un'antenna radio più compatta utilizzando nient'altro che filo e un paio di pinze. Oggi, antenne nei telefoni cellulari usano frattali come la Menger Sponge, il frattale della scatola e i frattali che riempiono lo spazio come un modo per massimizzare il potere ricettivo in una quantità minima di spazio [fonte:Cohen].
Anche se non abbiamo tempo per approfondire tutti gli usi che i frattali hanno per noi oggi, alcuni altri esempi includono la biologia, medicinale, modellazione di bacini idrografici, geofisica, e meterologia con formazione di nubi e flussi d'aria [fonte:NOVA].
Questo articolo ha lo scopo di iniziare nel mondo strabiliante della geometria frattale. Se hai un'inclinazione matematica potresti voler esplorare questo mondo molto di più usando le fonti elencate nella pagina successiva. I lettori meno inclini alla matematica potrebbero voler esplorare l'infinito potenziale dell'arte e della bellezza di questa incredibile e complessa fonte di ispirazione.
Come creare il tuo frattalePrendi un foglio di carta bianco, e traccia una linea retta dal centro verso il basso. Ora traccia due linee, metà del primo, che esce con un angolo di 45 gradi verso l'alto dalla parte superiore della prima linea, formando una Y. Fallo di nuovo per ogni fork della Y. Questa è la prima iterazione nel tuo frattale. Continua a fare con ogni forchetta. Alla terza o quarta iterazione inizierai a capire perché la geometria frattale non è stata sviluppata prima dell'era dei computer. Congratulazioni:hai appena realizzato un baldacchino frattale! Mescolare modificando leggermente (o molto) le linee iniziali e vedere cosa succede.
Pubblicato originariamente:26 aprile 2011
