In matematica, un controesempio viene utilizzato per smentire un'istruzione. Se vuoi dimostrare che una affermazione è vera, devi scrivere una dimostrazione per dimostrare che è sempre vera; dare un esempio non è sufficiente. Rispetto alla scrittura di una prova, scrivere un controesempio è molto più semplice; se vuoi dimostrare che un'istruzione non è vera, devi solo fornire un esempio di uno scenario in cui l'affermazione è falsa. La maggior parte dei controesempi in algebra implicano manipolazioni numeriche.
Due classi di matematica

La scrittura di prove e la ricerca di controesempi sono due delle classi principali di matematica. La maggior parte dei matematici si concentra sulla redazione di prove per sviluppare nuovi teoremi e proprietà. Quando le affermazioni o le congetture non possono essere dimostrate vere, i matematici le confutano dando dei controesempi.
I controesempi sono concreti

Invece di usare variabili e notazioni astratte, puoi usare esempi numerici per smentire un argomento. In algebra, la maggior parte dei controesempi coinvolgono la manipolazione utilizzando diversi numeri positivi e negativi o pari e dispari, casi estremi e numeri speciali come 0 e 1.
Video di Sciencing Video Vault
Crea la parentesi (quasi) perfetta: ecco come
Crea la parentesi (quasi) perfetta: ecco come un controesempio è sufficiente

La filosofia del controesempio è che se in uno scenario l'affermazione non è vera, allora l'affermazione è falsa. Un esempio non matematico è "Tom non ha mai detto una bugia". Per mostrare questa affermazione è vero, devi fornire "prova" che Tom non ha mai detto una bugia tracciando ogni affermazione che Tom abbia mai fatto. Tuttavia, per smentire questa affermazione, devi solo mostrare una bugia che Tom abbia mai parlato.
Famous Counterexamples

"Tutti i numeri primi sono dispari." Sebbene quasi tutti i numeri primi, compresi tutti i numeri primi superiori a 3, siano dispari, "2" è un numero primo che è pari; questa affermazione è falsa; "2" è il controesempio pertinente.

"La sottrazione è commutativa." Sia l'addizione che la moltiplicazione sono commutative: possono essere eseguite in qualsiasi ordine. Cioè, per ogni numero reale a e b, a + b = b + a e a * b = b * a. Tuttavia, la sottrazione non è commutativa; un controesempio che lo dimostra: 3 - 5 non è uguale a 5 - 3.

"Ogni funzione continua è differenziabile." La funzione assoluta | x |  è continuo per tutti i numeri positivi e negativi; ma non è differenziabile in x = 0; da quando | x |  è una funzione continua, questo controesempio dimostra che non tutte le funzioni continue sono differenziabili.