Una distribuzione binomiale descrive una variabile X se 1) c'è un numero fisso n osservazioni della variabile; 2) tutte le osservazioni sono indipendenti l'una dall'altra; 3) la probabilità di successo p è la stessa per ogni osservazione; e 4) ogni osservazione rappresenta esattamente uno dei due esiti possibili (da cui la parola "binomiale" - pensa "binario"). Quest'ultima qualifica distingue le distribuzioni binomiali dalle distribuzioni di Poisson, che variano in modo continuo anziché discreto.

Tale distribuzione può essere scritta B (n, p).
Calcolo della probabilità di una determinata osservazione

Dire che un valore k si trova da qualche parte lungo il grafico della distribuzione binomiale, che è simmetrico rispetto alla media np. Per calcolare la probabilità che un'osservazione abbia questo valore, è necessario risolvere questa equazione:

P (X \u003d k) \u003d (n: k) p ^{k (1-p) ( nk)}

dove (n: k) \u003d (n!) ÷ (k!) (n - k)!

Il "!" indica una funzione fattoriale, ad es. 27! \u003d 27 x 26 x 25 x ... x 3 x 2 x 1.
Esempio

Supponi che un giocatore di basket faccia 24 tiri liberi e abbia un tasso di successo stabilito del 75 percento (p \u003d 0,75). Quali sono le probabilità che colpirà esattamente 20 dei suoi 24 colpi?

Prima calcola (n: k) come segue:

(n!) ÷ (k!) (N - k) ! \u003d 24! ÷ (20!) (4!) \u003d 10.626

p ^{k \u003d (0.75) 20 \u003d 0.00317}

(1-p) ^{(nk) \u003d (0,25) 4 \u003d 0,00390}

Quindi P (20) \u003d (10.626) (0,00317) (0,00390) \u003d 0,1314.

Questo giocatore ha quindi una probabilità del 13,1 percento di fare esattamente 20 tiri liberi su 24, in linea con ciò che l'intuizione potrebbe suggerire su un giocatore che di solito colpirebbe 18 tiri liberi su 24 (a causa del suo tasso di successo stabilito del 75 percento).