La trigonometria può sembrare un soggetto piuttosto astratto. Termini arcani come "peccato" e "cos" non sembrano corrispondere a nulla nella realtà, ed è difficile capirli come concetti. Il cerchio unitario aiuta sostanzialmente in questo, offrendo una spiegazione diretta di quali sono i numeri che ottieni quando prendi il seno, il coseno o la tangente di un angolo. Per tutti gli studenti di scienze o matematica, comprendere il circolo unitario può davvero cementare la tua comprensione della trigonometria e di come utilizzare le funzioni.

TL; DR (troppo lungo; non letto)

Un cerchio unitario ha un raggio di uno. Immagina un sistema di coordinate xy
che inizia al centro di questo cerchio. Gli angoli dei punti sono misurati da dove x
\u003d 1 e y
\u003d 0, sul lato destro del cerchio. Gli angoli aumentano quando ci si sposta in senso antiorario.

Utilizzando questo framework e y
per y
-coordinate e x
per x
-coordinate del punto sul cerchio:

sin θ
\u003d y

cos θ
\u003d x

E di conseguenza:

tan θ
\u003d y
/ x

Che cos'è il cerchio unitario?

Un cerchio “unitario” ha un raggio di 1. In altre parole, la distanza dal centro del cerchio a qualsiasi parte del bordo è sempre 1. L'unità di misura non non importa, perché la cosa più importante nel cerchio unitario è che rende molte più equazioni e calcoli molto più semplici.

Serve anche come base utile per guardare le definizioni degli angoli. Immagina che il centro del cerchio si trovi al centro di un sistema di coordinate con un asse x
che corre in orizzontale e un y
-asse che corre in verticale. Il cerchio attraversa l'asse x
a x
\u003d 1, y
\u003d 0. Scienziati e matematici definiscono l'angolo da quel punto muovendosi in senso antiorario . Quindi il punto x
\u003d 1, y
\u003d 0 sul cerchio si trova ad un angolo di 0 °.
Le definizioni di peccato e cos con il cerchio unitario

Le normali definizioni di peccato, cos e abbronzatura fornite agli studenti si riferiscono ai triangoli. Dichiarano:

sin θ
\u003d opposto /ipotenusa

cos θ
\u003d adiacente /ipotenusa

tan θ
\u003d sin θ
/cos θ

Il "contrario" si riferisce alla lunghezza del lato del triangolo opposto all'angolo, "adiacente" si riferisce a la lunghezza del lato vicino all'angolo e "ipotenusa" si riferisce alla lunghezza del lato diagonale del triangolo.

Immagina di creare un triangolo in modo che l'ipotenusa sia sempre il raggio del cerchio unitario, con uno angolo al bordo del cerchio e uno al centro. Ciò significa che ipotenusa \u003d 1 nelle equazioni precedenti, quindi i primi due diventano:

sin θ
\u003d opposto /1 \u003d opposto

cos θ
\u003d adiacente /1 \u003d adiacente

Se rendi l'angolo in questione quello al centro del cerchio, l'opposto è solo il y
-coordinato e l'adiacente è solo il < em> x
- coordinata del punto sul cerchio che tocca il triangolo. In altre parole, sin restituisce la coordinata y
sul cerchio unitario (usando le coordinate che iniziano al centro) per un dato angolo e cos restituisce la coordinata x
. Ecco perché cos (0) \u003d 1 e sin (0) \u003d 0, perché a questo punto quelle sono le coordinate. Allo stesso modo, cos (90) \u003d 0 e sin (90) \u003d 1, perché questo è il punto con x
\u003d 0 e y
\u003d 1. In forma di equazione:

sin θ
\u003d y

cos θ
\u003d x

Gli angoli negativi sono anche facile da capire sulla base di questo. Gli angoli negativi (misurati in senso orario dal punto iniziale) hanno le stesse coordinate x
dell'angolo positivo corrispondente, quindi:

cos - θ

\u003d cos θ

Tuttavia, gli interruttori coordinati y
, il che significa che

sin - θ

\u003d -sin θ

La definizione di abbronzatura con il cerchio unitario

La definizione di abbronzatura fornita sopra è:

abbronzatura θ
\u003d sin θ
/cos θ

Ma con le definizioni del cerchio unitario di sin e cos, puoi vedere che è equivalente a:

tan θ
\u003d opposto /adiacente

Oppure, pensando in termini di coordinate:

tan θ
\u003d y
/ x

Questo spiega perché l'abbronzatura non è definita per 90 ° o −270 ° e 270 ° o −90 ° (dove x
\u003d 0), perché puoi dividere per zero.
Rappresentazione grafica delle funzioni trigonometriche

La rappresentazione grafica di sin o cos diventa più semplice quando si pensa al cerchio unitario. La coordinata x
varia in modo uniforme mentre ci si sposta attorno al cerchio, iniziando da 1 e diminuendo fino a un minimo di -1 a 180 °, quindi aumentando allo stesso modo. La funzione sin fa la stessa cosa, ma aumenta ad un valore massimo di 1 a 90 ° prima, prima di seguire lo stesso schema. Si dice che le due funzioni siano sfasate di 90 ° l'una rispetto all'altra.

L'abbronzatura grafica richiede di dividere y
per x
, e quindi è più complicato grafico e ha anche punti in cui non è definito.