In geometria, un radiante è un'unità utilizzata per misurare gli angoli. Il radiante proviene dalla lunghezza del raggio del cerchio. Il segmento della circonferenza di un cerchio che corrisponde all'angolo fatto da due linee di raggio forma un arco. L'angolo creato da questo arco, quando tracciate linee dai suoi punti iniziale e finale al centro del cerchio, è un radiante. Sebbene all'inizio il radiante possa apparire strano e complicato, semplifica le equazioni in matematica e fisica.

TL; DR (troppo lungo; non letto)

In geometria, un radiante è un unità basata sul cerchio e utilizzata per misurare gli angoli. Facilita i calcoli nei tipi avanzati di matematica.
Gradi contro radianti

Al di fuori della fisica e della matematica avanzata, i gradi sono in genere unità più familiari per le misurazioni angolari. Un cerchio, ad esempio, ha 360 gradi, un triangolo ha 180 e un angolo retto ha 90. Al contrario, un cerchio completo ha 2 × π (pi) radianti, un triangolo ha π radianti e un angolo retto è π ÷ 2 radianti . Un cerchio ha un numero intero di gradi, mentre nei radianti il valore è un numero irrazionale, quindi i radianti a prima vista potrebbero sembrare strani. D'altra parte, potresti esprimere frazioni di grado come decimali o come minuti, secondi e secondi decimali che usi anche con il tempo, quindi il grado ha problemi propri.
Più facile e più difficile

Le misurazioni dei gradi sono in genere più facili da gestire rispetto ai radianti per l'aritmetica e la trigonometria di base; raramente hai a che fare con frazioni di π quando esprimi un angolo. Ma per il calcolo e altri calcoli avanzati, risulta che i radianti sono più facili. Ad esempio, la serie di potenze per la funzione seno in radianti è la seguente:

sin (x) \u003d x - (x ^{3 ÷ 3!) + (X 5 ÷ 5!) - (x 7 ÷ 7!) + (x 9 ÷ 9!) ...}

In gradi, la funzione è simile alla seguente:

sin (x) \u003d (π × x ÷ 180) - (π × x ÷ 180) ^{3 ÷ 3! + (π × x ÷ 180) 5 ÷ 5! - (π × x ÷ 180) 7 ÷ 7! + (π × x ÷ 180) 9 ÷ 9! ...}

Per questa serie di potenze, si noti che è necessario ripetere “π × x ÷ 180” per ogni termine - un sacco di scrittura e calcolo extra rispetto al più ordinato, equivalente più compatto in radianti. Il radiante proviene dalla geometria naturale di un cerchio piuttosto che da una divisione per un numero arbitrario, come fanno i gradi. Poiché i radianti semplificano molti calcoli, i matematici pensano che l'unità sia più "naturale" dei gradi.
Usi per i radianti

Oltre alle serie di potenze come l'esempio della funzione sinusoidale, vedrai i radianti in matematica con calcolo ed equazioni differenziali. Ad esempio, quando usi i radianti, la derivata della funzione seno, sin (x), è semplicemente il coseno, cos (x). In gradi, tuttavia, la derivata di sin (x) è la più ingombrante (π ÷ 180) × cos (x). Man mano che avanzi in matematica, i problemi diventano più difficili e le soluzioni richiedono molte più linee di calcolo e algebra. I radianti ti risparmiano un sacco di inutili scritture extra e riducono le possibilità di commettere errori.

In fisica, le formule per la frequenza delle onde e la velocità di rotazione degli oggetti usano un minuscolo omega, "ω", come una comoda scorciatoia per "2 × π × radianti al secondo".
Conversione dei gradi in radianti

Le formule per convertire i gradi in radianti e viceversa sono semplici. Per convertire gli angoli in gradi in radianti, moltiplicare l'angolo per π, quindi dividere per 180. Ad esempio, un cerchio ha 360 gradi. Moltiplicato per π, che diventa 360π; quindi dividi per 180 e ottieni 2π radianti. Per convertire da radianti a gradi, moltiplicare per 180, quindi dividere per π. Ad esempio, converti un angolo retto, π ÷ 2 radianti. Moltiplicare per 180 per ottenere 90π, quindi dividere per π per ottenere il risultato, 90 gradi.