A volte la quantità x _{f - x i
è scritto}

Δx
, che significa "il cambiamento in x
", o anche semplicemente come d
, che significa spostamento. Tutti sono equivalenti. Posizione, velocità e accelerazione sono quantità vettoriali, nel senso che hanno una direzione associata. In una dimensione, la direzione è in genere indicata da segni: le quantità positive sono nella direzione positiva e le quantità negative sono nella direzione negativa. "0" potrebbe essere utilizzato per la posizione iniziale e la velocità anziché i
. Questo "0" significa "at t
\u003d 0," e x <sub>0
e v 0
sono generalmente pronunciati "x-nulla" e "v-niente". * Solo una delle equazioni non include il tempo. Quando si scrivono dati e si determina quale equazione usare, questa è la chiave!


Un caso speciale: caduta libera</sub>

Il movimento di caduta libera è il movimento di un oggetto che accelera a causa della gravità da solo in assenza di resistenza dell'aria. Si applicano le stesse equazioni cinematiche; tuttavia, è noto il valore di accelerazione vicino alla superficie terrestre. L'entità di questa accelerazione è spesso rappresentata da g
, dove g \u003d 9,8 m /s <sup>2. La direzione di questa accelerazione è verso il basso, verso la superficie terrestre. (Si noti che alcune fonti potrebbero approssimare g
come 10 m /s 2, e altre potrebbero usare un valore accurato con più di due cifre decimali.

Problem Solving Strategy for Kinematics Problems in una dimensione:</sup>

Disegna un diagramma della situazione e scegli un sistema di coordinate appropriato. (Ricorda che x
, v
e a
sono tutte quantità vettoriali, quindi assegnando una chiara direzione positiva, sarà più facile tenere traccia dei segni.)


Scrivi un elenco di quantità conosciute. (Attenzione che a volte i noti non sono ovvi. Cerca frasi come "inizia da riposo", il che significa che v _{i
\u003d 0, o "colpisce il terreno", significa che x f
\u003d 0 e così via.)}


Determina la quantità che la domanda desidera che tu trovi. Qual è l'ignoto che risolverai?


Scegli l'equazione cinematica appropriata. Questa sarà l'equazione che contiene la quantità sconosciuta insieme a quantità note.


Risolvi l'equazione per la quantità sconosciuta, quindi inserisci i valori noti e calcola la risposta finale. (Fai attenzione alle unità! A volte dovrai convertire le unità prima del calcolo.)

Esempi di cinematica monodimensionale


Esempio 1: un annuncio pubblicitario afferma che un'auto sportiva può andare da 0 a 60 mph in 2,7 secondi. Qual è l'accelerazione di questa vettura in m /s ^{2? Quanto percorre durante questi 2,7 secondi?}


Soluzione:


(Inserisci immagine 2)


Quantità conosciute e sconosciute:
v_i \u003d 0 \\ text {mph } \\\\ v_f \u003d 60 \\ text {mph} \\\\ t \u003d 2.7 \\ text {s} \\\\ x_i \u003d 0 \\\\ a \u003d \\ text {?} \\\\ x_f \u003d \\ text {?}

La prima parte della domanda richiede una soluzione per l'accelerazione sconosciuta. Qui possiamo usare l'equazione n. 1:
v_f \u003d v_i + at \\ implica a \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} t

Prima di collegare i numeri, tuttavia, dobbiamo convertire 60 mph in m /s:
60 \\ cancel {\\ text {mph}} \\ Bigg (\\ frac {0.477 \\ text {m /s}} {\\ cancel {\\ text {mph}}} \\ Bigg) \u003d 26.8 \\ text {m /s}

Quindi l'accelerazione è quindi:
a \u003d \\ frac {(26.8-0)} {2.7} \u003d \\ sottolineatura {\\ bold {9.93} \\ text {m /s} ^ 2}

Per scoprire quanto va lontano in quel momento, possiamo usare l'equazione # 2:
x_f \u003d x_i + v_it + \\ frac 1 2 at ^ 2 \u003d \\ frac 1 2 \\ times 9.93 \\ times 2.7 ^ 2 \u003d \\ sottolinea {\\ bold {36.2} \\ text {m}}

Esempio 2: una palla viene lanciata a una velocità di 15 m /s da un'altezza di 1,5 m. Quanto sta andando veloce quando colpisce il terreno? Quanto tempo ci vuole per colpire il suolo?


Soluzione:


(Inserisci immagine 3)


Quantità conosciute e sconosciute:
x_i \u003d 1.5 \\ text {m } \\\\ x_f \u003d 0 \\ text {m} \\\\ v_i \u003d 15 \\ text {m /s} \\\\ a \u003d -9,8 \\ text {m /s} ^ 2 \\\\ v_f \u003d? \\\\ t \u003d?

Per risolvere la prima parte, possiamo usare l'equazione # 3:
(v_f) ^ 2 \u003d (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \\ implica v_f \u003d \\ pm \\ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}

Tutto è già in unità coerenti, quindi possiamo inserire i valori:
v_f \u003d \\ pm \\ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5) } \u003d \\ pm \\ sqrt {254.4} \\ approx \\ pm16 \\ text {m /s}

Ci sono due soluzioni qui. Quale è corretto? Dal nostro diagramma, possiamo vedere che la velocità finale dovrebbe essere negativa. Quindi la risposta è:
v_f \u003d \\ underline {\\ bold {-16} \\ text {m /s}}

Per risolvere il tempo, possiamo usare l'equazione # 1 o l'equazione # 2. Poiché l'equazione n. 1 è più semplice da utilizzare, useremo quella:
v_f \u003d v_i + at \\ impliclies t \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {a} \u003d \\ frac {(-16-15) } {- 9,8} \\ circa \\ sottolineato {\\ grassetto {3.2} \\ text {s}}

Nota che la risposta alla prima parte di questa domanda non era 0 m /s. Mentre è vero che dopo che la pallina cadrà, avrà 0 velocità, questa domanda vuole sapere quanto sta andando veloce in quella frazione di secondo prima dell'impatto. Quando la palla entra in contatto con il terreno, le nostre equazioni cinematiche non si applicano più perché l'accelerazione non sarà costante.
Equazioni cinematiche per il movimento proiettile (due dimensioni)


Un proiettile è un oggetto che si muove in due dimensioni sotto l'influenza della gravità terrestre. Il suo percorso è una parabola perché l'unica accelerazione è dovuta alla gravità. Le equazioni cinematiche per il movimento proiettile assumono una forma leggermente diversa dalle equazioni cinematiche sopra elencate. Usiamo il fatto che i componenti del movimento che sono perpendicolari tra loro - come la direzione orizzontale x
e la direzione verticale y
- sono indipendenti.
Strategia di risoluzione dei problemi per il movimento proiettile Problemi di cinematica:


Disegna un diagramma della situazione. Proprio come con il movimento monodimensionale, è utile disegnare lo scenario e indicare il sistema di coordinate. Invece di usare le etichette x
, v
e a
per posizione, velocità e accelerazione, abbiamo bisogno di un modo per etichettare il movimento in ogni dimensione separatamente.


Per la direzione orizzontale, è più comune usare x
per la posizione e v _{x
per la componente x della velocità (notare che l'accelerazione è 0 in questo direzione, quindi non abbiamo bisogno di una variabile per essa.) Nella direzione y
, è più comune usare y
per posizione e v y
per il componente y della velocità. L'accelerazione può essere etichettata a y
oppure possiamo usare il fatto che sappiamo che l'accelerazione dovuta alla gravità è g
nella direzione y negativa, e basta usare quella invece .}


Scrivi un elenco di quantità note e sconosciute suddividendo il problema in due sezioni: movimento verticale e orizzontale. Usa la trigonometria per trovare i componenti x e y di tutte le quantità vettoriali che non si trovano lungo un asse. Può essere utile elencarlo in due colonne:


(inserire la tabella 1)


Nota: se la velocità viene data come grandezza insieme a un angolo, Ѳ
, sopra l'orizzontale, quindi utilizzare la decomposizione vettoriale, v _{x \u003d vcos (Ѳ)
e v y \u003d vsin (Ѳ)
.}


Possiamo considerare le nostre tre equazioni cinematiche di prima e adattarle rispettivamente alle direzioni xey.


Direzione X:
x_f \u003d x_i + v_xt

Direzione Y:
v_ {yf} \u003d v_ {yi} -gt \\\\ y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \\\\ (v_ {yf}) ^ 2 \u003d (v_ {yi}) ^ 2-2g (y_f - y_i)

Nota che l'accelerazione nella direzione y
è -g se assumiamo che sia positivo. Un malinteso comune è che g \u003d -9,8 m /s ^{2, ma questo non è corretto; g
stesso è semplicemente la grandezza dell'accelerazione: g \u003d 9,8 m /s 2, quindi dobbiamo specificare che l'accelerazione è negativa.}


Risolvi per uno sconosciuto in uno di quelle dimensioni, quindi collegare ciò che è comune in entrambe le direzioni. Mentre il movimento nelle due dimensioni è indipendente, avviene sulla stessa scala temporale, quindi la variabile temporale è la stessa in entrambe le dimensioni. (Il tempo impiegato dalla palla per subire il suo movimento verticale è uguale al tempo necessario per subire il suo movimento orizzontale.

Proiettile Motion Cinematica Esempi


Esempio 1: Un proiettile viene lanciato orizzontalmente da una scogliera di 20 m di altezza con una velocità iniziale di 50 m /s. Quanto tempo ci vuole per colpire il suolo? Quanto lontano atterra dalla base della scogliera?


(inserisci immagine 4)


Quantità conosciute e sconosciute:


(inserisci tabella 2)


Possiamo trovare il tempo necessario per colpire il suolo usando la seconda equazione del movimento verticale:
y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \\ implica t \u003d \\ sqrt {\\ frac { (2 \\ times 20)} g} \u003d \\ underline {\\ bold {2.02} \\ text {s}}

Quindi per trovare dove atterra, x _{f
, possiamo usare il equazione del movimento orizzontale:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 50 \\ times2.02 \u003d \\ underline {\\ bold {101} \\ text {s}}}

Esempio 2: una palla viene lanciata a 100 m /s da terra livello con un angolo di 30 gradi rispetto all'orizzontale. Dove arriva? Quando è la sua velocità la più piccola? Qual è la sua posizione in questo momento?


(inserisci immagine 5)


Quantità note e sconosciute:


Per prima cosa dobbiamo suddividere il vettore di velocità in componenti:
v_x \u003d v_i \\ cos (\\ theta) \u003d 100 \\ cos (30) \\ circa 86,6 \\ testo {m /s} \\\\ v_ {yi} \u003d v_i \\ sin (\\ theta) \u003d 100 \\ sin (30) \u003d 50 \\ testo {m /s}

La nostra tabella delle quantità è quindi:


(inserisci la tabella 3)


Per prima cosa dobbiamo trovare il tempo in cui la palla è in volo. Possiamo farlo con la seconda equazione verticale_. Nota che usiamo la simmetria della parabola per determinare che la velocità finale _y
è negativa dell'iniziale:


Quindi determiniamo quanto lontano si sposta nella direzione x
in questo momento:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 86.6 \\ times 10.2 \\ approx \\ underline {\\ bold {883} \\ text m}

Usando la simmetria del percorso parabolico, possiamo determinare che la velocità è più piccola a 5,1 s, quando il proiettile è al picco del suo movimento e la componente verticale della velocità è 0. I componenti xey del suo moto in questo momento sono:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 86.6 \\ times 5.1 \\ approx \\ underline {\\ bold {442} \\ text m} \\\\ y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \u003d 50 \\ times5. 1- \\ frac 1 2 9.8 \\ times 5.1 ^ 2 \\ circa \\ sottolineato {\\ bold {128} \\ text {m}} Derivazione di equazioni cinematiche


Equazione # 1: se l'accelerazione è costante, allora:
a \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {t}

Risolvendo per la velocità, abbiamo:
v_f \u003d v_i + at

Equazione # 2: la velocità media può essere scritta in due modi :
v_ {avg} \u003d \\ frac {(x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2}

Se sostituiamo _v _{f _ con l'espressione dell'equazione # 1, otteniamo:
\\ frac {(x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}}

Risolvendo per x _{f
dà:
x_f \u003d x_i + v_i t + \\ frac 1 2 at ^ 2}

Equazione # 3: Inizia risolvendo per t
nell'equazione # 1
v_f \u003d v_i + at \\ implica t \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {a}

Collega questa espressione per t
nella relazione della velocità media:
v_ {avg} \u003d \\ frac { (x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2} \\ implica \\ frac {(x_f-x_i)} {(\\ frac {(v_f-v_i)} {a})} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2}

Riorganizzando questa espressione si ottiene:
(v_f) ^ 2 \u003d (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)